Примеры решения задач по физике

Задача 2.

Найти для газа Ван-дер-Ваальса уравнение адиабаты в переменных (T, V), если известна его теплоемкость при постоянном объеме CV.

Решение. Для решения задач подобного рода в качестве исходного соотношения используется первое начало в дифференциальной форме .

В адиабатическом процессе δQ = 0, поэтому:

. (1)

По условию задачи необходимо найти уравнение процесса в координатах (T, V), поэтому выразим dU и p через эти переменные. Как следует из предыдущей задачи:

и

.

Подставляя эти выражения в (1), получим:

.

Разделим переменные в этом выражении и проинтегрируем:

,

,

тогда:

.

После потенцирования получим:

Задача 3.

Определить для газа Ван-дер-Ваальса разность  и показать, что в критическом состоянии () стремится к бесконечности.

Анализ и решение. Общее выражение (4.2), связывающее две теплоемкости:

. (1)

Согласно (6.3),

,

тогда:

. (2)

Затруднения вызывает расчет . Если выразить V из (6.1) через p и T, то придется решать кубическое уравнение относительно V, что не является рациональным решением. Поэтому воспользуемся математическим соотношением:

.

Из (6.1) , и взятие частной производной  не представляет особого труда:

. (3)

Подставим (2) и (3) в (1) для 1 моля газа:

.

Стоящее в числителе выражение , тогда:

.

Для ответа на второй вопрос задачи воспользуемся условием, определяющим критическое состояние вещества . Соотношение (1) также справедливо для этого состояния. Проанализируем его. Выражение, стоящее в квадратных скобках  отлично от 0 и ∞ и, согласно (6.1), . Значит к бесконечности может стремиться только второй сомножитель . Для его оценки воспользуемся соотношением, полученным в курсе математического анализа. Если три независимых переменных (x, y, z) связаны соотношением f(x, y, z)=0, то для их частных производных справедливо выражение:

 (4)

Интересующие нас переменные (p, V, T) связаны между собой уравнением состояния Ван-дер-Ваальса, поэтому, согласно (4),

,

откуда:

.

Однако в критической точке , тогда , поэтому  и, следовательно, , что справедливо и для 1 моля газа, т.е. .

Математика примеры решения задач