Примеры решения залач по физике

Математика Электротехника Лабораторные работы Контрольная работа Конспект лекций Электроника Альтернативная энергетикаОптика Сопромат ЭлектростатикаНачертательная геометрия Архитектура Дизайн

Задача 3.

Найти вероятность того, что при 300 К молекулы азота имеют компоненты скорости вдоль осей x, y, z, соответственно, в интервале 300 ± 0,3, 400 ± 0,4 и 500 ± 0,5 м/с.

Решение. Согласно (2.1) доля молекул dNx из N, скорость которых лежит в пределах от vx до vx + dvx:

.

Вероятность этого события dPx = dNx/N. Аналогичные соотношения для вероятностей того, что молекулы обладают компонентами скорости vy и vz, лежащей в интервале (vy, vy + dvy) и (vz, vz + dvz) – dPy = dNy/N и dPz = dNz/N, соответственно.

Вследствие независимости движения молекул вдоль различных осей x, y, z, вероятность того, что молекулы обладают компонентами скорости, лежащей в интервале (vi, vi + dvi), где i = x, y, z, равна dP = dPx · dPy · dPz или

. (1)

Тогда искомая вероятность δP:

,

Так как интервал изменения компонент скорости vi(i = x, y, z) мал, для подсчета интегралов можно воспользоваться теоремой о среднем значении, согласно которой:

,

где = 300м/c, = 400 м/c, = 500 м/c,

= 0,6 м/c, = 0,8 м/c = 1 м/c.

Подстановка этих значений дает:

δР ≈ 7·10-11.

Задача 4.

Определить долю молекул, компоненты скорости которых вдоль оси x находятся в интервале (vx, vx + dvx), а модули перпендикулярной составляющей скорости – в интервале (, ).

Анализ и решение. Для нахождения искомой доли молекул воспользуемся соотношением (1) предыдущей задачи:

.

Выделим в нем нужную вероятность того, что молекулы обладают компонентами скорости вдоль оси х, лежащей в интервале (vx, vx + dvx):

. (1)

Для определения вероятности того, что молекулы обладают компонентами скорости, перпендикулярной vx, лежащей в интервале (), рассмотрим вектор скорости  в прямоугольной системе координат (Рис.2.1). Проекцию  на плоскость (vy 0 vz) обозначим через . Проведя в этой плоскости две окружности с центром в начале координат радиусами ( и ), получим кольцо. Второму условию задачи будут удовлетворять молекулы, у которых конец перпендикулярной составляющей вектора скорости, лежит в этом кольце. Компоненты скорости vy, vz и их приращения dvy и dvz выразим через  и . Для этого перейдем в полярную систему координат (). Из Рис. 2.1 следует, что , , . Произведение представляет собой элемент площади в прямоугольной системе координат, который в полярной системе координат равен ,  – угол между и осью 0vy.

Подставляя эти выражения в (1), получим:

.

Чтобы учесть все молекулы, концы векторов  которых лежат во всем кольце, проинтегрируем полученное выражение по  в пределах от 0 до 2π. Тогда:

Задача 5.

Вычислить среднюю проекцию скорости молекул с массой m при температуре Т.

Решение. Для вычисления среднего значения воспользуемся формулами (1.6) и (2.2).

.

В общем случае  может принимать любые значения в интервале от –∞ до +∞, однако  может принимать только положительные значения, т.е. в интервале от нуля до +∞, где = vx. Тогда:

.

Замена  приводит к табличному интегралу, что дает в результате .

Математика примеры решения задач