Примеры решения залач по физике

ЗАКОНЫ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА.

Основные понятия и формулы.

Уравнение состояния идеального газа с молярной массой М, имеющего массу m и занимающего объем V:

, (3.1)

где v = m/M – число молей газа, R – универсальная газовая постоянная, или

p = n · kT (3.1а)

где n – число молекул в единице объема, k – постоянная Больцмана.

Основное уравнение кинетической теории идеальных газов:

, (3.2)

где – средняя кинетическая энергия молекулы, которая равна

, (3.3)

где i – число степеней свободы молекулы газа.

3.2. Примеры решения задач.

Задача 1.

Два одинаковых сосуда соединены трубой с клапаном, пропускающим газ из одного сосуда в другой при разности давления ∆p ≥ 1,1 атм. Сначала в одном сосуде был вакуум, а в другом идеальный газ при T1 = 27ºC и давлении р1 = 1 атм. Затем оба сосуда нагрели до T2 = 107ºC. Найти давление газа в сосуде, где был вакуум.

Дано: ∆p ≥ 1,1 атм, р1 = 1 атм, t1  = 27ºC = 300 К, t2  = 107ºC = 380 К.

Определить: p2’.

а)

 
Анализ и решение. Обозначим объем каждого сосуда V. В результате нагрева газ в первом сосуде из состояния с параметрами p1, V, T1 (рис.3.2а) перешел в состояние с параметрами p1́, V, T2 (рис.3.2б), а во втором сосуде, где был вакуум, параметры состояния газа p2’, V, T1.

б)

 
Предположим, что в газе содержится ν молей, после нагрева в первом сосуде осталось ν’ молей, а во втором стало (ν – ν’) молей.

Уравнение состояния газа до нагрева:

p1V = νRT1  (1)

после нагрева в первом сосуде:

p1’V= ν’RT2, (2)

во втором сосуде:

p2’V = (ν – ν’)RT2, (3)

причем:

p1’ – р2’ = ∆p. (4)

Решая систему из трех уравнений (2), (3), (4), получим:

.

Из (1) νR/V = p1/T1, тогда окончательно:

.

Задача 2.

Поршневой насос захватывает на один цикл объем газа V1 и выталкивает его в атмосферу. Сколько циклов n должен сделать насос, чтобы понизить давление воздуха в сосуде объема V от p0 до p?

Анализ и решение. Каждый цикл работы насоса осуществляется в две стадии. При перемещении поршня насоса в крайнее правое положение (первая стадия, клапан k1 – открыт, k2 – закрыт) газ занимает (V + V1), а давление в системе становится р1 (Рис. 3.2). При переходе поршня в крайнее левое положение (вторая стадия, клапан k1 – закрыт, k2 – открыт) порция газа объема V1 выталкивается в атмосферу. Откачка газа обычно происходит в изотермических условиях, когда Т = const и справедливо уравнение изотермы:

pV = const.  (1)

Связь исходного состояния газа с состоянием в конце первой стадии первого цикла:

p0V = p1(V + V1). (2)

Запишем аналогичное уравнение для второго цикла, когда давление в системе стало р2:

р1V = p2(V + V1),.  (3)

для третьего цикла:

p2V = p3(V + V1). (4)

Используя метод последовательной подстановки выражений (1), (2) и (3) в (4), получим закон изменения давления для трех циклов:

.

Тогда для n циклов связь конечного давления р с начальным р0 будет:

,

откуда необходимое число циклов:

.

Математика примеры решения задач