Примеры решения залач по физике

Математика Электротехника Лабораторные работы Контрольная работа Конспект лекций Электроника Альтернативная энергетикаОптика Сопромат ЭлектростатикаНачертательная геометрия Архитектура Дизайн

Задача 5.

Найти максимально возможную температуру идеального газа в бесконечно медленном процессе, описываемом уравнением , где константы p0 > 0 и α > 0, V – объем одного моля газа.

Решение. Известно, что бесконечно медленные процессы подчиняются уравнению состояния идеального газа:

pV = RT. (1)

Для учета специфики процесса, рассматриваемого в задаче, подставим выражение р из ее условий в (1) и найдем интересующую величину Т:

. (2)

Для нахождения экстремального (максимального или минимального) значения Т нужно взять производную от Т по V, приравнять ее нулю и найти значение Vэ, при котором Т – экстремальна.

,

откуда:

. (3)

Известно также, что функция принимает максимальное значение, если ее вторая производная меньше нуля.

Действительно,

, т.к. V, α > 0,

т.е. при условии (3) температура принимает максимальное значение Тmax, которое получается подстановкой (3) в (2),

.

Задача 6.

Высокий цилиндрический сосуд с азотом находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором g. Температура Т азота меняется по высоте так, что его плотность всюду одинакова. Найти градиент температуры по высоте (dT/dh).

Решение. Для простоты площадь поперечного сечения возьмем равной единице. Выберем сечение столба газа на высоте h (рис.3.4). Давление, оказываемое на него газом, в общем случае:

, (1)

где ρ(h) – плотность газа на высоте h.

C другой стороны, согласно уравнению состояния:

, (2)

где m – масса молекулы азота.

Приравнивая (1) и (2), получим:

.

Т.к. ρ(h) = const, вынеся эту величину из-под знака интеграла, получим:

.

Градиент температуры найдем путем дифференцирования этого выражения по

.

Знак минус показывает, что с увеличением высоты, температура газа уменьшается.

Задача 7.

Сосуд, содержащий идеальный газ, молекулы которого обладают i степенями свободы, движется со скоростью . На сколько увеличится средне-квадратичная скорость теплового поступательного движения молекул при остановке сосуда ? Теплоемкость и теплопроводность сосуда бесконечно малы.

Решение. При движении сосуда со скоростью U молекула обладает дополнительной кинетической энергией εс:

. (1)

Согласно (3.3) средняя энергия теплового движения молекулы, обладающей i степенями свободы равна:

. (2)

Средняя же энергия только поступательного теплового движения молекулы есть:

. (3)

Сравнивая (2) и (3), получим:

. (4)

При остановке сосуда энергия εс молекулы переходит в энергию теплового движения, изменяя ее на величину ∆ε, т.е.

.

Из (4) можно записать, что приращение :

 (5)

Подставляя (1) в (5), получим:

,

т.е. чем большим числом степеней свободы обладает молекула, тем меньше увеличивается ее среднеквадратичная скорость при остановке сосуда.

Математика примеры решения задач