Начертательная геометрия

Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Инженерная графика
Начертательная геометрия
ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Пересечение поверхностей цилиндра и призмы
Примеры построения линии пересечения
многогранников
Вырожденные поверхности второго порядка
Гиперболический параболоид
Двуполостный гиперболоид
Линейчатые поверхности
Вспомогательные секущие поверхности
Применение способа секущих плоскостей
Построение плоскости, касательной к
поверхности в данной точке
Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a23yz + 2a13xz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0

в котором по крайней мере один из коэффициентов a11, a22, a33, a12, a23, a13 отличен от нуля.

Типы поверхностей второго порядка

Цилиндрические поверхности

Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с образующей \vec{l}, если для любой точки M0 этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей \vec{l}, целиком принадлежит поверхности S.

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S имеет уравнение f(x,y) = 0, то S — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси OZ.

Кривая, задаваемая уравнением f(x,y) = 0 в плоскости z = 0, называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр:

Параболический цилиндр:

Гиперболический цилиндр:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\!

y^2=2px\!

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\!=1

Cil.png

Par.png

Hip el.png

Пара совпавших прямых:

Пара совпавших плоскостей:

Пара пересекающихся плоскостей:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0\!

y^2=0\!

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\!=0

Конические поверхности

Поверхность S называется конической поверхностью с вершиной в точке O, если для любой точки M0 этой поверхности прямая, проходящая через M0 и O, целиком принадлежит этой поверхности.

Функция F(x,y,z) называется однородной порядка m, если \forall t \in \mathbb{R}\;\forall x,y,zвыполняется следующее: F(tx,ty,tz)=t^mF(x,y,z)\!

Теорема (об уравнении конической поверхности).Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением F(x,y,z) = 0, где F(x,y,z) — однородная функция, то S — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность S задана функцией F(x,y,z), являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то S называется конической поверхностью второго порядка.

Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\!

Поверхности вращения

Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M0(x0,y0,z0) этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z = z0 с центром в (0,0,z0) и радиусом r=\sqrt{x_0^2+y_0^2}, целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением F(x2 + y2,z) = 0, то S — поверхность вращения вокруг оси OZ.

Эллипсоид:

Однополостной гиперболоид:

Двуполостной гиперболоид:

Эллиптический параболоид:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\!

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\!

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\!

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2pz\!

Gnuplot ellipsoid.svg

Hib com.png

Hib sim.png

El Par.png

В случае, если a=b\neq 0, перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.

Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид.

Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

Уравнение гиперболического параболоида:

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2pz\!

При сечении гиперболического параболоида плоскостью z = z0 поверхность порождает гиперболу.

При сечении гиперболического параболоида плоскостью x = x0 или y = y0 поверхность порождает параболу.

Эллиптический параболоид

Уравнение эллиптического параболоида:

\frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} = 2pz

Если a = b то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину данной параболы.

При сечении эллиптический параболоида плоскостью z = z0 поверхность порождает эллипс.

При сечении эллиптический параболоида плоскостью x = x0 или y = y0 поверхность порождает параболу.

Геометрические основы теории теней При оформлении чертежей фасадов зданий или других архитектурных сооружений возникает необходимость придать изображаемому объекту объемность, рельефность форм, подчеркнуть соотношение пропорций отдельных частей, т.е. придать чертежу наглядность, выразительность.

Собственные и падающие тени на фасадах зданий Представление о внешнем виде здания в основном создается по чертежу фасада. Поэтому рассмотрим примеры построения теней от различных элементов фасада, используя те же приемы, что и при построении теней геометрических тел

Падающая тень от прямой линии состоит из падающих теней от всех ее точек. Совокупность лучей, проходящих через все точки прямой, в пространстве образует лучевую, (световую) плоскость. Поэтому тень от прямой линии есть прямая пересечения лучевой плоскости с плоскостью, на которую падает тень

При построении падающей тени от плоской фигуры считают, что плоская фигура непрозрачна. Построение падающей тени от любой плоской фигуры сводится к построению падающих теней всех ее точек.

Метод обратных лучей

Начертательная геометрия лекции и примеры решения задач