Начертательная геометрия

Математика Электротехника Лабораторные работы Контрольная работа Конспект лекций Электроника Альтернативная энергетикаОптика Сопромат ЭлектростатикаНачертательная геометрия Архитектура Дизайн

Инженерная графика
Начертательная геометрия
ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Пересечение поверхностей цилиндра и призмы
Примеры построения линии пересечения
многогранников
Вырожденные поверхности второго порядка
Гиперболический параболоид
Двуполостный гиперболоид
Линейчатые поверхности
Вспомогательные секущие поверхности
Применение способа секущих плоскостей
Построение плоскости, касательной к
поверхности в данной точке
Поверхности второго порядка

Примеры построения линии пересечения поверхностей вращения с применением секущих плоскостей

Пересечение поверхностей цилиндра и призмы

 На рис. 3 показано построение проекции линии пересечения поверхности треугольной призмы с поверхностью прямого кругового цилиндра. Боковые грани призмы перпендикулярны плоскости проекций V (рис. 3а), поэтому фронтальная проекция линии пересечения поверхностей этих тел совпадает с фронтальной проекцией боковых граней призмы. Горизонтальная проекция линии пересечения поверхностей совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра и является окружностью. Профильные проекции точек А и Е находим по горизонтальным и фронтальным проекциям при помощи линий связи. Для построения проекций промежуточных точек В, С, D используем вспомогательные секущие плоскости Рv, Рv1 и Рv2, которые рассекают поверхность цилиндра по окружности, а поверхность призмы по прямым линиям. Окружности и прямые, пересекаясь между собой, дают точки В, С и D.

Рис. 3.

В данном примере можно обойтись без вспомогательных секущих плоскостей, помечая произвольно на фронтальной проекции линии пересечения точек b¢, c¢, d¢. Опуская линии связи на горизонтальную проекцию, находим горизонтальные проекции точек b, c, d.

 На рис. 3б показано построение изометрической проекции. После построения изометрической проекции цилиндра, используя размеры m и n, строят изометрическую проекцию основания призмы, а затем достраивают ее до конца. На рис. 3а изображена модель пересекающихся тел и определены точки линии пересечения с применением секущих плоскостей.

 Точки А, В, С, D, Е и им симметричные точки строятся по координатам, взятым с комплексного чертежа. Соединяются точки линии пересечения с помощью лекала.

2.2.2. Пресечение цилиндрических поверхностей

Подпись:  
Рис. 4.
При выполнении машиностроительных чертежей наиболее часто встречается случай пересечения двух цилиндрических поверхностей, оси которых взаимно перпендикулярны.

 На рис. 4 показано построение линии пересечения поверхностей двух прямых круговых цилиндров, оси которых перпендикулярны к плоскостям проекций.

 В начале построения, как известно, находят проекции очевидных точек 1, 7 и 4 .

 Построение проекций промежуточных точек показано на рис. 4а. Если в данном случае принять общий способ построения линии пересечения с помощью вспомогательных взаимно параллельных плоскостей, пересекающих обе цилиндрические поверхности по образующим, то на пересечении этих образующих будут найдены искомые промежуточные точки линии пересечения: точки 2, 3, 5.

Однако в данном случае выполнять такое построение нет необходимости по следующим соображениям.

  Горизонтальная проекция линии пересечения поверхностей совпадает с окружностью – горизонтальной проекцией большого цилиндра. Профильная проекция линии пересечения также совпадает с окружностью – профильной проекцией малого цилиндра. Таким образом, фронтальную проекцию искомой линии пересечения легко найти по общему правилу построения кривой линии по точкам, когда две проекции точек известны (рис. 4б).

 Например, по горизонтальной проекции точки 3 находят профильную проекцию 3². По двум проекциям 3 и 3² определяют фронтальную проекцию 3¢. Полученные точки соединяют плавной кривой с помощью лекала.

 Построение изометрической проекции (рис. 4в) пересекающихся цилиндров выполняется в следующей последовательности:

строят изометрическую проекцию вертикального цилиндра;

проводят ось горизонтального цилиндра через точку О1 параллельно оси х (положение точки О1 определяется ее координатой z, равной отрезку h);

находят центр основания горизонтального цилиндра (точка О2), откладывая от точки О на оси цилиндра отрезок l, равный координате х точки О2;

строят основание горизонтального цилиндра – овал, параллельный профильной плоскости проекций;

строят точки, принадлежащие линии пересечения при, помощи координат и соединяют их, используя лекало;

проводят очерковые образующие горизонтального цилиндра.

Пресечение поверхностей цилиндра и конуса

 Построение линии пересечения поверхностей прямого кругового усеченного конуса, имеющего вертикальную ось, с цилиндром, расположенным горизонтально, показано на рис. 5. Оси цилиндров и конуса пересекаются в точке О1 и лежат в одной плоскости.

Как и в предыдущих примерах, сначала определяют проекции очевидных (1, 7) и характерных (4, 10) точек линии пересечения.

Для определения промежуточных точек проводят вспомогательные горизонтальные секущие плоскости Р1… Р5 (рис. 5б). Они будут рассекать конус по окружности, цилиндр – по образующим. Искомые точки линии пересечения поверхностей цилиндра и конуса находятся на пересечении образующих с окружностями.

Для определения горизонтальных проекций точек пересечения из центра О1 (рис. 5а) проводят горизонтальные проекции дуг окружностей, по которым вспомогательные плоскости Р1… Р5 пересекают конус. Размеры радиусов этих дуг взяты с профильной проекции.


Рис. 5.


Так как профильные проекции точек 1²… 12″ известны, то проводя ломаные линии связи до пересечения с соответствующими дугами окружностей, находят горизонтальные проекции точек 1…12. Применяя линии связи по двум имеющимся проекциям, профильной и горизонтальной, находят фронтальные проекции точек 1¢… 12′.

Полученные на горизонтальной и фронтальной проекциях точки соединяют по лекалу.

 На горизонтальной проекции часть линии пересечения будет видимой, а часть – невидимой. Границу этих частей линии пересечения определяют при помощи плоскости Р3, проведенной через ось цилиндра. Точки, расположенные над плоскостью Р3, будут на горизонтальной плоскости видимы, а точки расположенные под плоскостью Р3 – невидимы.

 Изометрическую проекцию пересекающихся поверхностей цилиндра и конуса вычерчивают в такой же последовательности, что и изометрическую проекцию пересекающихся поверхностей цилиндров (рис. 5в).

  На рис. 6 показано построение линии пересечения поверхностей цилиндра и конуса, оси которых параллельны.

Рис. 6.

 В качестве вспомогательных секущих плоскостей выбирают горизонтальные плоскости, которые пересекают конус и цилиндр по окружностям (рис. 6б). Диаметр окружностей, образованных в результате пересечения этих плоскостей с цилиндром, одинаков и равен D; диаметры окружностей, полученных от пересечения плоскостей с поверхностью конуса, различны. Взаимное пересечение горизонтальных проекций этих окружностей дает искомые горизонтальные проекции точек 1 … 9 линии пересечения. Фронтальные проекции точек 1¢… 9¢ (рис. 6а) находят при помощи линий связи на следах Рv1, Рv2, Рv3 вспомогательных плоскостей. Профильные проекции точек строят по двум их известным проекциям.

Характерными точками в данном примере являются: высшая точка линии пересечения (точка 5) и низшие точки (1 и 9). Построение проекций этих точек начинается с имеющихся горизонтальных проекций.

Построение изометрической проекции пересекающихся конуса и цилиндра (рис. 6в) выполняется по этапам, описанным в предыдущих примерах.

Пересечение поверхностей тора и цилиндра

 Пересечение поверхностей тора и цилиндра показано на рис. 7. Комплексный чертеж пересекающихся поверхностей с построением линии пересечения выполнен на рис. 7а.

 В этом примере очевидные точки К и S, характерные – L и Р. Для определения проекций промежуточных точек используют вспомогательные плоскости Рv1, Рv2, Рv3, параллельные фронтальной плоскости проекций.

Вспомогательная плоскость (например Р2) пересекает поверхность тора по окружности радиуса R, а поверхность цилиндра – по двум образующим M и N. Пересечение этих образующих с окружностью радиуса R дает две точки m и n, принадлежащие искомой линии пересечения. Наглядное изображение линии пересечения дано на рис. 7б.


Рис. 7.

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ СПОСОБОМ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СФЕР

 Известно, что если ось поверхности вращения проходит через центр сферы и сфера пересекает эту поверхность, то линия пересечения сферы и поверхности вращения – окружность, плоскость которой перпендикулярна оси поверхности вращения. При этом, если ось поверхности вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой линии. На рис. 8 показана фронтальная проекция пересечения сферой радиуса R поверхностей вращения – конуса, тора, цилиндра, сферы, оси которых проходят через центр сферы радиуса R и параллельны фронтальной плоскости. Окружности, по которым пересекаются указанные поверхности с поверхностью сферы, проецируются на фронтальную плоскость в виде отрезков прямых. Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер.

В данном пособии рассмотрен способ вспомогательных концентрических сфер с постоянным центром – сфер с постоянным центром.

Способ секущих сфер с постоянным центром применяют при следующих условиях:

обе пересекающиеся поверхности – поверхности вращения;

оси поверхностей вращения пересекаются, точку пересечения принимают за центр вспомогательных концентрических сфер;

оси поверхностей вращения должены быть параллельны одной из плоскостей проекций.

 

Рис. 8.

3.2. Примеры построения линии пересечения поверхностей

вращения способом вспомогательных сферических поверхностей

3.2.1. Пересечение двух цилиндров, цилиндра и усеченного конуса

 На рис. 9а дано построение фронтальной проекцией линии пересечения поверхностей двух цилиндров, оси которых пересекаются под острым углом.

 Вспомогательные сферические поверхности проводятся из точки пересечения осей цилиндров, точки О¢.

  Построим, например, фронтальную проекцию некоторой промежуточной точки. Для этого из точки О¢ проведём сферическую поверхность радиуса R, которая на данной проекции изобразится окружностью того же радиуса. Окружность радиуса R пересекает горизонтальный цилиндр по окружностям диаметра СD, а наклонно расположенный цилиндр – по окружностям диаметра АВ.

  Пересекаясь между собой, проекции окружностей, отрезки с¢d¢ и a¢b¢ дают проекцию 2¢ промежуточной точки линии пересечения.

 Пределы радиусов сферических поверхностей находят следующим образом: наибольшая окружность сферической поверхности должна пересекаться с контурными образующими I-I и II-II, а наименьшая должна быть касательной к одной из данных поверхностей и пересекаться с образующими другой поверхности.

На рис. 9б при помощи сфер с постоянным центром аналогично предыдущему примеру построена фронтальная проекция линии пересечения усеченного конуса и горизонтального цилиндра.

Рис. 9.

Построении в диметрической проекции плоских фигур. Построим правильный шестиугольник в диметрической проекции.

Способы сечений. По данному комплексному чертежу предмета сначала строят аксонометрические проекции фигур сечения, затем дочерчивают части изображения предмета, расположенные за секущими плоскостями. Второй способ упрощает построение, освобождает чертеж от лишних линий

Пример штриховки в четверти выреза детали

Пересечение поверхностей призм и пирамид. В приемах построения проекции линии пересечения двух прямых призм много общего с построением линий пересечения двух цилиндров.

Тени от геометрических тел. От любого геометрического тела можно построит в той или иной аксонометрической проекции падающую тень, а на самом теле найти его собственную тень

Начертательная геометрия лекции и примеры решения задач