Начертательная геометрия

Математика Электротехника Лабораторные работы Контрольная работа Конспект лекций Электроника Альтернативная энергетикаОптика Сопромат ЭлектростатикаНачертательная геометрия Архитектура Дизайн

Инженерная графика
Начертательная геометрия
ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Пересечение поверхностей цилиндра и призмы
Примеры построения линии пересечения
многогранников
Вырожденные поверхности второго порядка
Гиперболический параболоид
Двуполостный гиперболоид
Линейчатые поверхности
Вспомогательные секущие поверхности
Применение способа секущих плоскостей
Построение плоскости, касательной к
поверхности в данной точке
Поверхности второго порядка

СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Вырожденные поверхности второго порядка

К вырожденным поверхностям второго порядка относятся типы, указанные в первой части таблицы формулировки теоремы 4.5.1.

В первых двух столбцах этой таблицы перечислены типы пустых множеств, а также объекты точечно-линейного типа, исследование которых полностью аналогично случаям, рассмотренным в приложении 1, в ортонормированной, канонической системе координат .

Первые три типа поверхностей, содержащиеся в третьей колонке таблицы, являются частными случаями цилиндрической поверхности, образующая которых параллельна прямой , а направляющими служат плоские кривые - эллипс, гипербола и парабола, соответственно расположенные в плоскости .

Описание свойств невырожденных поверхностей второго порядка будет также выполнено в ортонормированной системе координат .

В общем случае можно показать, что в сечении поверхности второго порядка плоскостью получается кривая второго порядка. Однако для описания основных свойств невырожденных поверхностей второго порядка достаточно рассмотреть сечения, параллельные координатным плоскостям.

Эллипсоид

Определение

Пр.2.2.1.

Поверхность, задаваемая в некоторой ортонормированной системе координат каноническим уравнением вида

, называется эллипсоидом.

Свойства эллипсоида:

1°. Эллипсоид - ограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что .

2°. Эллипсоид обладает:

- центральной симметрией относительно начала координат;

- осевой симметрией относительно координатных осей;

- плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей.

3°. В сечении эллипсоида плоскостью, ортогональной любой из осей координат, получается эллипс. Например, рассматривая секущую плоскость , где , получаем следующее уравнение линии сечения

,

являющейся эллипсом. (Рис. Пр.2.2.1.)

 x

 z

Рисунок Пр.2.2.1.

y

Эллиптический параболоид

Определение

Пр.2.3.1.

Поверхность, задаваемая в некоторой ортонормированной системе координат каноническим уравнением вида , называется эллиптическим параболоидом.


Свойства эллиптического параболоида:

1°. Эллиптический параболоид - неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что  и принимает сколь угодно большие значения.

2°. Эллиптический параболоид обладает

- осевой симметрией относительно оси ;

- плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей  и .

3°. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям  или  - парабола. Например, рассматривая секущую плоскость , получаем следующее уравнение плоской линии

,

являющейся эллипсом. (Рис. Пр.2.3.1.) С другой стороны, сечение плоскостью   приводит к уравнению линии

,

являющейся параболой. Для случая сечения плоскостью  уравнение сечения имеет аналогичный вид.

 .

Задание и изображение плоскости на чертеже Плоскость - это простейшая поверхность. Положение плоскости в пространстве определяется: а) тремяточками, не лежащими на одной прямой линии, б) прямой иточкой, не принадлежащей данной прямой, в) двумя пересекающимися прямыми, г) двумя параллельными прямыми, д) любой плоской фигурой.

В разработанном курсе лекций рассмотрены основные разделы курса "Начертательная геометрия". Лекции включают в себя сведения о методах проецирования, о образовании проекций точки, прямой линии, плоскости и их взаимном положении. Рассмотрены способы преобразования чертежа, построение многогранников и кривых поверхностей, пересечение кривых и гранных поверхностей прямой линией и плоскостью, Даны сведения об аксонометрических проекциях.

Виды проецирования Существует несколько видов проецирования. Проекции центральные, - когда задается плоскость про-екции и центр проекции точки, не лежащей в этой плоскости

Проецирование отрезка прямой линии Проецирование прямой линии на две и три плоскости проекции. Прямая линия в пространстве вполне определяется положением двух любых точек, принадлежащих этой прямой (траектория перемещения точки)

Положение плоскостей относительно плоскостей проекций Возможны следующие положения плоскости относительно плоскостей проекций H,V,W:

Построение линии пересечения двух плоскостей Прямая линия, получаемая при взаимном пересечении двухплоскостей, определяется двумя точками, каждая из которых одновременно принадлежит обеим плоскостям.

Начертательная геометрия лекции и примеры решения задач