Дипломы, курсовые,
рефераты, контрольные, диссертации на заказ
Галантные
празднества Живопись |
Архитектура | Скульптура | Искусство
России | Национальная галерея |
Декоративное искусство |
Описание, конструирование, манипулирование и представление геометрических объектов являются центральными работами в графических системах. Их поддержка в требуемом объеме за счет соответствующих математических методов, алгоритмов и программ оказывают существенное влияние на возможности и эффективность графической системы. В данном разделе будут рассмотрены математические методы для описания геометрических преобразований координат в двух и трехмерном случае, будут обсуждены некоторые вопросы эффективности, рассмотрены геометрические преобразования растровых картин.
Далее большими буквами x, y, z будут обозначаться обычные декартовые координаты, а маленькие буквы X, Y, Z будут использоваться для обозначения т.н. однородных координат.
Двумерные геометрические преобразования
Параллельный перенос
Параллельный перенос в плоском случае имеет вид:
 |
x` = x + Dx
y` = y + Dy
[x’, y’] = [x, y] + [Dx, Dy]
 |  |  |
P’ P T
или в векторной форме:
| P` = P + T, |
где P` = [x` y`] - вектор-строка преобразованных координат,
где
x, y - исходные координаты точки,
Tx, Ty - величина сдвига по осям,
x`,
y` - преобразованные координаты.
P = [x y] -- вектор-строка исходных
координат,
P` = [x` y`] -- вектор-строка преобразованных координат,
T = [Tx Ty] -- вектор-строка сдвига.
Преобразование масштабирования относительно начала координат имеет вид:
x` = x ·Sx
y` = y ·Sy или
 |
Sx 0
[x`, y`] = [x, y] ·
0 Sy
P` P
S
или в матричной форме:
| P` = P ·S, |
где Sx, Sy -- коэффициенты масштабирования по осям, а
S - матрица масштабирования
Преобразование поворота относительно начала координат имеет вид:
 |
x`= x·cos(φ) – y·sin(φ)
y`= x·sin(φ) + y·cos(φ)
или
cos(φ) sin(φ)
[x`, y`] = [x, y] ·
–sin(φ) cos(φ)
P` P
R
Где R – матрица поворота
φ – положительный угол поворота
или в матричной форме:
|
P` = P ·R, |
Столбцы и строки матрицы поворота представляют собой взаимно ортогональные единичные векторы. В самом деле квадраты длин векторов-строк равны единице:
| cosf·cosf+sinf·sinf = 1 |
| (-sinf) ·(-sinf)+cosf·cosf = 1, |
а скалярное произведение векторов-строк есть
| cosf·(-sinf) + sinf·cosf = 0. |
Так как скалярное произведение векторов A ·B = |A| ·|B| ·cosy, где |A| - длина вектора A, |B| - длина вектора B, а y - наименьший положительный угол между ними, то из равенства скалярного произведения двух векторов-строк длины 1 следует, что угол между ними равен 90°.
Аналогичное можно показать и для векторов-столбцов. Кроме того вектора-столбцы представляют собой такие единичные векторы, которые после выполнения преобразования, заданного этой матрицей, совпадут с осями. В самом деле, произведение первого столбца на матрицу есть
 |  | ||
|
|
cosf |
-sinf |
|
· |
|
cosf | sinf |
|
= |
|
1 0 |
|
, | |||||||||
| -sinf | cosf | |||||||||||||||||||||
т.е. это единичный вектор вдоль оси X.
Аналогично, произведение второго столбца на матрицу даст вектор [ 0 1 ]. Это позволяет сформировать матрицу, если известны результаты преобразования.
