Сопромат лекции и примеры решения задач

Статически неопределимые задачи.

При кручении, так же как и при растяжении, встречаются задачи, которые не могут быть решены с помощью одних только уравнений равновесия. В таких задачах количество неизвестных превышает число уранений равновесия. Порядок решения таких задач тот же самый, что и при решении статически неопределимых задач при растяжении (сжатии).

2_16.gif

Рассмотрим для примера стержень с двумя заделанными концами (рис. 2.16, а). Такой стержень статически неопределим, так как для нахождения двух реактивных моментов, возникающих в заделках, статика дает лишь одно уравнение равновесия.

Отбросим одну заделку, заменив ее действие неизвестным моментом Х (рис. 2.15, б). Дополнительное уравнение (называемое, как известно, уранением деформации или уравнением перемещений) получим из условия, что угол поворота сечения у отброшенной заделки, равный углу закручивания стержня под действием моментов Т и Х, равен нулю (t2_43.gif = 0).

В получившейся статически определимой системе, называемой основной системой, поворот сечения В происходит под действием внешнего момента и момента Х. Угол поворот сечения В под действием момента Х равен

t2_44.gif

где t2_45.gif

Угол поворота сечения В под действием момента Т равен

t2_46.gif

Подставляя эти значения и уравнение перемещений, получаем

t2_47.gif

Отсюда определяем Х.

После этого можно определить крутящий момент в любом сечении и построить эпюру Тк и эпюру углов закручивания. Для построения эпюры t2_14.gifдостаточно вычислить угол поворота сечения С. Он равен

t2_48.gif

Углы поворота сечений А и В равны нулю, а так как угол поворота сечения линейно зависит от расстояния [см. формулу (2.19)], то полученные точки эпюры можно соединить прямыми линиями. Эпюры Тк и t2_14.gifпредставлены на рис. 2.16, в, г.

Пример 2.5. Тонкостенная трубка из материала с модулем Gв вставлена в другую с модулем Gн. Один конец получившейся конструкции заделан, а к другому приложен внешний момент Т, действующий на обе трубки (рис. 2.17). Определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечения трубок.

Решение. Неизвестных крутящих моментов два: во внутренней трубке Тк.в и в наружной трубке Тк.н.

Уравнение равновесия одно:

Тк.в + Тк.н = Т.     (I)



2_17.gif

Задача один раз статически неопределима. Составляем уранение деформаций, приравнивая между собой углы поворота сечений на правом конце трубок (равные полным углам закручивания трубок): t2_49.gif

t2_50.gif    (II)

Полярный момент инерции сечения внутренней трубки - Iр.в, наружной - Iр.н. Они определяются, как для кольцевых сечений, по формулам (см. здесь). При небольшой толщине стенок для вычисления углов закручивания можно пользоваться формулой (2.39 см. здесь), которая при постоянной толщине t2_17.gifполучает вид

t2_51.gif,

где d = (dн + dв)/2 - средний диаметр трубки; s = Пd - длина средней окружности сечения трубки.

Из двух уравнений (I) и (II) определяют крутящие моменты в поперечных сечениях трубок, а затем по формуле - и напряжения. При значительной толщине стенок для определения напряжений следует пользоваться следующими формулами:

Рациональные формы сечений при кручении.

Из двух сечений с одним и тем же полярным моментом сопротивления (или в случае некруглого сечения одним и тем же Wк), а следовательно, с одним и тем же допускаемым крутящим моментом, рациональным будет сечение с наименьшей площадью, т.е. обеспечивающее наименьший расход материала. Так как отношение Wp/A (или Wк/A) является величиной размерной, то для сравнения различных сечений удобно применять безразмерную величину

t2_52.gif

(при некруглом сечении t2_53.gif), которую можно называть удельным моментом сопротивления при кручении. Чем больше t2_54.gif, тем рациональнее сечение.

Таблица 2.2

Тип сечения

t2_55.gif

Швеллер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Двутавр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Прямоугольное сечение при a/b = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
То же, a/b = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Квадрат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Круглое сплошное сечение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Круговое кольцо при c = d/D = 0,5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
>> >> >> >> >> >> c = 0,9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0,04 - 0,05
0,05 - 0,07
0,1
0,18
0,21
0,28
0,37
1,16

Как видим, наименее выгодными при кручении являбтся швеллеры, двутавры, узкие прямоугольные сечения и наиболее выгодными - круглые кольцевые, особенно при малой толщине стенок.

Сравним площадь стержней трубчатого сечения Ат с площадью стержней сплошного сечения Ас при различных значениях с = d/D и при условии равной прочности. Из равенства полярных моментов сопротивления сплошного и кольцевого сечений имеем

t2_56.gif

Для равнопрочности должно соблюдаться условие

t2_57.gif

Отношение площадей сечения равно

t2_58.gif

Подставляя сюда значение D, найденное из условия равнопрочности, получаем

t2_59.gif

В таблице 2.3 приведены значения отношения Ат/Ас. Из этой таблицы видно, что применение трубчатых тонкостенных стержней дает большую экономию металла.

Таблица 2.3

c

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Ат/Ас

1

0,99

0,96

0,92

0,85

0,79

0,70

0,61

0,51

0,39

При подборе сечений по жесткости в качестве критерия экономичности профиля может служить безразмерная величина

t2_60.gif

(или t2_61.gifдля некруглых сечений), которая может быть названа удельным полярным полярным моментом инерции или удельной геометрической характеристикой крутильной жесткости.

В таблице 2.4 приведены значения jк для некоторых наиболее распространенных сечений.

Таблица 2.4

Тип сечения

Швеллер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Двутавр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Прямоугольное сечение при a/b = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
То же, a/b = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Квадрат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Круглое сплошное сечение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Круговое кольцо при c = d/D = 0,5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
>> >> >> >> >> >> c = 0,9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0,010 - 0,011
0,009 - 0,015
0,031
0,115
0,14
0,16
0,264
1,52

Как видим, при расчете на жесткость преимущества кольцевых тонкостенных сечений по сравнению с другими типами сечений еще более возрастают. Сравнение площадей стержней круглого кольцевого и сплошного сечений при одинаковой жесткости представлено в таблице 2.5. В этой таблице Ат - площадь сечения стержня кольцевого трубчатого сечения, Ас - площадь сечения стержня сплошного круглого сечения.

Таблица 2.5

c

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Ат/Ас

1

0,99

0,96

0,92

0,85

0,78

0,69

0,58

0,46

0,32

Сравнивая эту таблицу с таблицей 2.3., видим, что при расчете на жесткость применение трубчатых тонкостенных стержней позволяет получить еще большую экономию материала.

Математика примеры решения задач