Примеры решения залач по физике

Задача 6.

Для молекул массой m при температуре Т найти функцию их распределения по кинетическим энергиям и наивероятное значение кинетической энергии . Соответствует ли наивероятной скорости vв?

Решение. Для нахожденияиспользуем выражение (2.3):

.

Перейдем от распределения молекул по скоростям  к распределению их по энергиям  с учетом того, что кинетическая энергия молекулы . Дифференцируя это выражение, получим . Так как , то . Тогда:

.

.

Наивероятнейшей кинетической энергии εв соответствует максимум функции ρ(ε), поэтому необходимо взять производную от ρ(ε) по ε и приравнять ее нулю, т.е , тогда получим εв=kT/2.

Кинетическая энергия с наивероятнейшей скоростью по (2.5):

, т.е. ε' ≠ εв.

Задача 7. (опыт Перрена).

При наблюдении в микроскоп взвешенных частиц гуммигута было обнаружено, что среднее число их в слоях, отстоящих на h = 40 мкм, отличается друг от друга в η = 2 раза. Температура среды Т = 290 К. Диаметр частиц d = 0,4 мкм и их плотность на ∆ρ = 0,2 г/см3 больше плотности окружающей жидкости. Как по этим данным Перрен нашел число Авогадро Nа?

Дано: h = 40 мкм = 4·10-5 м, , Т = 290 К, d = 0,4 мкм = 4·10-7 м, ∆ρ = ρ – ρ0 = 0,2 г/см3 = 200 кг/м3.

Определить:

Анализ и решение. Частицы, находящиеся в поле сил тяжести, подчиняются распределению Больцмана (2.8). Отношение плотностей  частиц на двух уровнях h1 и h2, где потенциальные энергии U1 и U2, соответственно, согласно (2.8):

.

Умножая числитель и знаменатель на Na , получим:

(1)

где R = kNa – газовая постоянная, а U1 и U2 неизвестны. Для их нахождения используем связь между силой F, действующей на частицу и ее потенциальной энергией U.

 или . Проинтегрируем обе части равенства с учетом того, что при изменении h от h1 до h2U изменяется от U1 до U2, полагая, при этом F = const.

 или .

Но на частицу массой m и объемом V, находящуюся в жидкости во взвешенном состоянии и подчиняющуюся распределению Больцмана, действует еще сила, определяемая разницей между силой тяжести и силой Архимеда  (g – ускорение свободного падения).

.

Объем частицы . Тогда  и .

Подставляя (U1 – U2) в (1), получим:

,

или

,

откуда:

 моль-1.

Задача 8.

Имеется N частиц, энергия которых может принимать лишь два значения E1 и Е2. Частицы находятся в равновесном состоянии при температуре Т. Чему равна суммарная энергия Е всех частиц?

Решение. Суммарную энергию всех частиц можно представить в виде: , где N1 и N2 – число частиц, имеющих энергию E1 и Е2, соответственно. Для нахождения N1 и N2 используем формулу Больцмана (2.8), на основании которой

,

причем N1 + N2 = N. Решая систему из двух уравнений с двумя неизвестными, найдем:

,

,

.

Математика примеры решения задач