Примеры решения залач по физике

Задача 9.

Потенциальная энергия молекул в центральном поле зависит от рассеяния r до центра поля как , где а > 0. Температура газа Т. Найти: а) долю молекул в шаровом слое (r, r + dr) и плотность вероятности этого события, б) число молекул в шаровом слое, если их концентрация в центре поля n0.

Анализ и решение. Молекулы газа находятся в поле потенциальных сил, поэтому можно использовать распределение Больцмана (2.6):

 (1)

где В – постоянная, характерная для данного поля.

Вследствие шаровой симметрии поля, задачу удобнее в сферической системе координат (r, φ, θ) (Рис. 2.3). Элемент объема (dx·dy·dz) в (1) в прямоугольной системе координат равен r2·dr·sinθ·dθdφ в сферической системе.

Тогда:

 (2)

Для определения доли молекул dNc/N в шаровом слое (r, r + dr) проинтегрируем (2) по θ в пределах от 0 до π и по φ в пределах от 0 до , т.е.

. (3)

Постоянную В найдем из условия нормировки, для чего (3) проинтегрируем по r в пределах от 0 до +∞.

.

Интеграл табличный, откуда В = (а/πkT)3/2 и

.

Плотность вероятности:

.

Для нахождения числа молекул dNc в шаровом слое используем соотношение (1) в виде:

.

dN/dV – локальная плотность частиц в системе, которая при r = 0 равна n0, откуда В = n0/N. Тогда число молекул в шаровом слое из (3):

.

Задача 10.

В бесконечно высоком вертикальном сосуде находится углекислый газ при температуре Т. Считая поле сил тяжести однородным, найти, как изменится давление газа на дно сосуда, если температуру газа увеличить в  раз.

Анализ и решение. Получим зависимость давления газа в сосуде от Т. Рассмотрим сосуд с единичным квадратным сечением, что упростит решение задачи, но не уменьшит его общность. На высоте z от поверхности дна (Рис.2.4) выделим столбик газа высотой dz и найдем давление dp, которое он оказывает на нижнее сечение. Это давление равно весу выделенного столбика газа, т.е. dp = g · dm, где dm – масса газа в выделенном объеме dV. dm = ρ · dV = ρ ·dz (dS = 1). Плотность газа ρ = n · m, где n – число молекул в единице объема, m – масса молекулы. Молекулы газа, находящиеся в формуле Больцмана (2.8):

,

где n0 – число молекул в единице объема при z = 0. Подставляя полученные соотношения в выражение для dp, получим:

.

Для определения давления всего столба газа на дно сосуда проинтегрируем это выражение по z в пределах от 0 до +∞:

,

откуда следует, что p пропорционально Т. Однако при изменении температуры может изменяться и n0. Получим зависимость n0 от Т. Воспользуемся выражением (2.6):

,

где dN – число молекул в объеме dV = dx·dy·dz, N – число молекул во всем столбе. Проинтегрируем это выражение по объему столба:

,

откуда .

Представим выражение (2.6) в виде:

 (1)

dN/dV = n – локальная плотность молекул. При z = 0, как следует из (1), dN/dV = n0= ВN = mgN/kT или p = n0kT = mgN = const.

Таким образом, при нагревании газа, находящегося в бесконечно высоком вертикальном сосуде, давление газа на дно сосуда не изменится.

Математика примеры решения задач