Примеры решения залач по физике

Математика Электротехника Лабораторные работы Контрольная работа Конспект лекций Электроника Альтернативная энергетикаОптика Сопромат ЭлектростатикаНачертательная геометрия Архитектура Дизайн

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И БОЛЬЦМАНА.

Основные понятия и формулы.

В этом разделе нужно обратить внимание на нахождение средних значений различных физических величин при известном виде вероятностей или плотностей вероятностей и умение пользоваться этими функциями. Задачи по нахождению средних скоростей требуют знания различных видов функций распределения (плотностей вероятностей) скоростей молекул Максвелла.

Доля молекул dN с массой m, компонента скорости которых лежит в пределах от vx до vx + dvx:

(2.1)

Плотность вероятности этого события (или функция распределения компоненты скорости vx):

(2.2)

N – общее число молекул в системе. Аналогичные формулы можно записать для компонент скоростей vy и vz.

Периодическая система элементов Менделеева Принцип Паули, лежащий в основе систематики заполнения электронных состояний в атомах, позволяет объяснить Периодическую систему элементов Д. И. Менделеева (1869) — фундаментального закона природы, являющегося основой современной химии, атомной и ядерной физики.

Доля молекул dN, скорость которых лежит в пределах от v до v + dv, вне зависимости от направления скорости:

, (2.3)

а соответствующая плотность вероятности:

. (2.4)

Наиболее вероятная vв, средняя  и средняя квадратичная  скорости молекул:

, , . (2.5)

Распределение молекул в силовом поле с потенциальной энергией U задается распределением Больцмана:

, (2.6)

где dN – доля молекул с энергией U в объеме dv = dxdydz.

Соответствующая плотность вероятности:

, (2.7)

где В – постоянная, характерная для каждого случая.

Формула Больцмана:

, (2.8)

n и n0 – число молекул в единице объема, где потенциальная энергия равна U и 0, соответственно.

2.2. Примеры решения задач.

Задача 1.

Один литр кислорода находится при нормальных условиях (Т = 273 К, p = 101.3 кПа). Найти число молекул, скорость которых заключена в интервале от 500 м/c до 500,2 м/c.

Дано: V = 1 л (О2) = 10-3 м3; Т = 273 К, p = 101300 Па, v = 500 м/c, dv = 0,2 м/c.

Определить: dN.

Анализ и решение. Небольшой разброс скоростей молекул 0,2 м/с по сравнению с 500 м/с, позволяет принять его за малую величину dv. Тогда на основании (2.3) число молекул dN, скорость которых лежит в пределах от v до v + dv:

,

где m и N – неизвестны, m = M · а.е.м. (М – относительная молекулярная масса).

Для нахождения общего числа N молекул в объеме используем закон Авогадро: при нормальных условиях 1 моль газа занимает объем Vм = 22,4 л. Тогда N = Na · V/Vм и окончательно:

.

Задача 2.

Показать, что отношение между числом молекул, имеющих скорость меньше наиболее вероятной vв, и числом всех молекул не зависит от Т.

Решение. Согласно (2.3) доля молекул dN, имеющих скорость, лежащую в пределах от v до v + dv:

,

где N – число всех молекул в системе. Тогда отношение между числом молекул Nв и числом всех молекул:

(1)

Введем безразмерную величину x = v/vв и преобразуем выражение, стоящее справа. Согласно (2.5) vв = (2kT/m)1/2, тогда , .

Подставляя эти выражения в (1), получим:

.

Справа имеем определенный интеграл, независящий от температуры, что и требовалось показать.

Математика примеры решения задач