Функции и их графики Непрерывность функций и точки разрыва

Дипломы, курсовые, рефераты, контрольные, диссертации на заказ
Компьютерная графика
Учебник по живописи и рисунку
Моделирование и анимация
Первобытное искусство
Древний Египет
Древнее царство
Среднее царство
Новое царство
Россия скульптура
Софийский собор в
Новгороде Великом
Доколумбова Америка
Импрессионизм
Художественная жизнь Европы
Крит, Минены
Древняя Эллада
Византия
Византийский круг
Западная Европа.
Средние века
Романское искусство
Готика
Древняя Россия
Зодчество
Мозаика.Фреска
Иконопись
Древнерусские книги
Ювелирное искусство
Adobe Illustrator
Возрождение в Италии
Проторенессанс
Ранее возрождение
Высокое возрождение
Позднее возрождение
Возрождение в
Северной Европе
Нидерланды
Франция
Германия избыточность
Арабские страны. Иран.
Турция
Индия и Азия
Страны дал. Востока
Искусство XVII века
Италия
Испания XVI - XVII веков
Фландрия
Голландия
Франция
Искусство XVIII века
Франция
Италия
Англия XVII - XVIII веков
Германия
Россия
Процесс построения моделей
Первая половина XIX века
Западная Европа
Россия
Вторая половина XIX века
Западная Европа
Россия
Ландшафтное проектирование
Архитектурное проектирование
Учебники по математике
Исследование функции
Общая архитектура Windows NT
Задачи математика, физика
К кривым второго порядка
Задачи на пределы
Задачи на производную
Математика примеры решения задач
Корни уравнений
Основы векторной
алгебры
Квадратурная амплитудная модуляция
Системы линейных
уравнений
Операции с матрицами
Математический анализ
Методы интегрирования
Решение дифференциальных
уравнений
Математическая логика
Задачи на интеграл
Типовые расчеты
Применение интегралов
ТФКП
Кратные интегралы
Уравнения в полных
дифференциалах
Геометрия, стереометрия
Логарифмическое дифференцирование
Числовые и степенные ряды
Комплексные числа
Задания из Кузнецова
Векторный анализ
Аналитическая геометрия
Конспекты
Учебники по физике
Термодинамика
Электpостатика
Оптика
Кинематика
Ядерная физика
Решения задач

 

 

Основные обозначения и определения

Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
$ \mathbb{R}$ означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел);
$ \mathbb{N}$ означает множество натуральных чисел $ \{1;2;3;4;\dots\}$;
$ \mathbb{Z}$ означает множество всех целых чисел $ \{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$;
$ \varnothing $ означает пустое множество; по определению, в нём нет ни одного элемента;
$ [a;b]$, $ [a;b)$, $ (a;b]$ и $ (a;b)$, где $ a\in\mathbb{R}$, $ b\in\mathbb{R}$, соответственно,-- замкнутые, полуоткрытые и открытые промежутки: квадратная скобка означает, что соответствующий конец промежутка включается в множество, а круглая скобка-- что не включается;
$ (-\infty;b]$, $ (-\infty;b)$, $ (a;+\infty)$ и $ [a;+\infty)$, где $ a\in\mathbb{R}$, $ b\in\mathbb{R}$-- замкнутые и открытые лучи (бесконечные промежутки);
$ (-\infty;+\infty)$-- числовая прямая, то же, что и $ \mathbb{R}$;
$ A\cup B$-- пересечение (общая часть) множеств $ A$ и $ B$;
$ A\cap B$-- объединение множеств $ A$ и $ B$ (все точки из $ A$ и все точки из $ B$);
$ A\diagdown B$-- множество тех элементов из $ A$, которые не принадлежат $ B$;
$ A\sbs B$-- включение $ A$ в $ B$ ($ A$-- это часть $ B$);
$ x\in A$-- принадлежность элемента $ x$ множеству $ A$ ($ x$ принадлежит $ A$);
$ x\notin A$-- элемент $ x$ не принадлежит множеству $ A$;
$ \{a;b;\dots;z\}$-- множество, состоящее из элементов $ a,b,\dots,z$; в частности, $ \{a\}$-- множество из одного элемента $ a$;
$ \{x\in A: P(x)\}$-- множество всех тех элементов $ x$ из $ A$, для которых выполняется свойство $ P(x)$.

Первый способ задания функции: табличный

пример

Второй способ задания функции: с помощью формулы

Обзор некоторых элементарных функций

Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления

Во многих случаях функцию $ f$ приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся.

Композиция функций

Если даны два отображения $ {f:X\to U_1}$ и $ {g:U_2\to Y}$, где $ U_2\sbs U_1$, то имеет смысл "сквозное отображение" $ {x\mapsto u\mapsto y}$ из $ X$ в $ Y$, заданное формулой $ y=g(f(x))$, $ x\in X$, которое называется композицией функций $ f$ и $ g$ и обозначается $ g\circ f$.

Обратная функция

Если $ f:A\to B$-- взаимно-однозначное отображение (биекция), то для любого $ y\in B$ однозначно определен такой элемент $ x\in A$, что $ f(x)=y$. Тем самым однозначно определено соответствие $ y\mapsto x$, называемое обратной функцией по отношению к функции $ f$. Обратная функция для $ f$ обозначается $ f^{-1}$.

Примеры и упражнения

Дифференциальное исчисление

Упражнения

Упражнение 1.6 Пусть $ f(x)=\arcsin x$, $ x\in[-1;1]$, $ g(u)=\cos u$, $ u\in\mathbb{R}$. Тогда определены композиции $ f\circ g$ и $ g\circ f$. Докажите, что при $ x\in[-1;1]$ имеет место равенство $ (g\circ f)(x)=\sqrt{1-x^2}$. Выясните также, чему равна функция $ f\circ g$ и каков её график.

 

Непрерывность функций и точки разрыва

Определение непрерывности функции

Определение Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором интервале $ (a;b)$, для которого $ x_0$-- внутренняя точка. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

Примеры, упражнения

Определение точек разрыва

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{\vert x^2-x\vert}{x^2-x}$,

Пример   Функция $ f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ имеет при $ x=0$ разрыв второго рода, так как $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to0+$ и  

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)$, заданную равенством $\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\cos^nx.$ Теоретическая механика Сопротивление материалов. Математика, физика

Свойства функций, непрерывных в точке

   Теорема Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ непрерывны в точке $ x_0$. Тогда функции $ h_1(x)=f(x)+g(x)$, $ h_2(x)=f(x)-g(x)$, $ h_3(x)=f(x)g(x)$ непрерывны в точке $ x_0$. Если $ g(x_0)\ne0$, то функция $ h_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ также непрерывна в точке $ x_0$.

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

Определение

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)=\cos x-x$ на отрезке $ [0;\frac{\pi}{2}]$.

Теорема об ограниченности непрерывной функции

Теорема о достижении экстремума непрерывной функцией

Равномерная непрерывность

Примеры, упражнения

Непрерывность обратной функции

Теорема Пусть $ f$ -- непрерывная монотонная функция, $ \mathcal{D}(f)=[a;b]$, $ \mathcal{E}(f)=[c;d]$. Тогда обратная к $ f$ функция $ {\varphi}$ непрерывна на отрезке $ [c;d]$.

Гиперболические функции и ареа-функции

Гиперболическим синусом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}).$
Гиперболическим косинусом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}).$
Гиперболическим тангенсом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm th}\nolimits x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits x}{\mathop{\rm ch}\nolimits x}.$
Гиперболическим котангенсом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm cth}\nolimits x=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\dfrac{... ...\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}=\dfrac{1}{\mathop{\rm th}\nolimits x}.$

Примеры, упражнения

Примеры и упражнения

Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи

Пример

Пример

Общее определение предела

Пример

Замена переменного и преобразование базы при такой замене

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Общие свойства пределов

Первый и второй замечательные пределы

Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

Пример

Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Сравнение бесконечно малых

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Пример

Упражнения на вычисление пределов

Формула Тейлора представления числовой функции многочленом

Многочлен Тейлора

Коэффициенты Тейлора

Остаток в формуле Тейлора и его оценка

Остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

Упражнение

Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования

Примеры

Пределы
Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи
Общее определение предела
Замена переменного и преобразование базы при такой замене
Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства
Общие свойства пределов
Первый и второй замечательные пределы
Бесконечно большие величины и бесконечные пределы
Использование непрерывности функций при вычислении пределов
Сравнение бесконечно малых
Таблица эквивалентных бесконечно малых при
Упражнения на вычисление пределов

Производные и дифференциалы
Мгновенная скорость при прямолинейном движении
Касательная к кривой на плоскости
Производная
Свойства производных
Производные некоторых элементарных функций
Дифференциал
Производная композиции
Инвариантность дифференциала
Производная обратной функции
Производные некоторых элементарных функций (продолжение)
Сводка основных результатов о производных
Производные высших порядков
Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность
Производные функции, заданной параметрически
Производная функции, заданной неявно
Приближённое вычисление производных
Примеры и упражнения

Свойства дифференцируемых функций
Четыре теоремы о дифференцируемых функциях
Правило Лопиталя
Сравнение бесконечно больших величин
Упражнения на применение правила Лопиталя

Формула Тейлора
Многочлен Тейлора
Остаток в формуле Тейлора и его оценка
Формула Тейлора для некоторых элементарных функций
Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования
Упражнения

Исследование функций и построение графиков
Асимптоты графика функции
Возрастание и убывание функции
Экстремум функции и необходимое условие экстремума
Достаточные условия локального экстремума
Выпуклость функции
Общая схема исследования функции и построения её графика
Примеры исследования функций и построения графиков
Упражнения и задачи

Кривизна плоской кривой
Кривизна графика функции
Вершины кривых
Радиус кривизны
Упражнения

Векторная алгебра
Определение вектора
Операции над векторами
Разложение вектора по базису
Линейная зависимость векторов
Система координат и координаты вектора
Проекции вектора
Скалярное произведение
Векторное произведение
Выражение векторного произведения через координаты сомножителей
Смешанное произведение
Нахождение координат вектора в произвольном базисе

Прямые линии и плоскости
Уравнение поверхности
Уравнение плоскости
Изображение плоскости
Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля
Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю
Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю
Два коэффициента при переменных равны нулю
Угол между плоскостями
Расстояние от точки до плоскости
Прямая на плоскости
Прямая в пространстве
Основные задачи на прямую и плоскость
Кривые второго порядка
Окружность
Эллипс
Гипербола
Парабола
Параллельный перенос системы координат
Поверхности второго порядка
Сфера
Эллипсоид
Гиперболоиды
Конус
Параболоиды
Цилиндры
Параллельный перенос системы координат
Матрицы
Определение, обозначения и типы матриц
Сложение матриц и умножение на число
Символ суммирования
Умножение матриц
Транспонирование матрицы
Определители
Обратная матрица
Ранг матрицы
Системы линейных уравнений
Правило Крамера
Существование решения системы линейных уравнений общего вида
Однородная система уравнений
Структура решений неоднородной системы линейных уравнений
Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Алгебраические структуры
Группы
Кольца
Поля
Комплексные числа
Построение поля комплексных чисел
Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами
Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного числа
Показательная форма комплексного числа
Извлечение корня из комплексного числа
Корни многочленов
Многомерные пространства
Линейные пространства
Определение и примеры
Базис и размерность пространства
Координаты векторов
Изменение координат вектора при изменении базиса
Евклидово пространство
Аффинное -мерное пространство
Линейные преобразования
Определение и примеры
Матрица линейного преобразования
Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса
Собственные числа и собственные векторы
Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц
Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов
Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду
Библиографический список

; Архитектура XVIII столетия Готическое искусство Оценивая эмоциональное состояние человека