Примеры решения задач

Примеры решения задач.

Задача 1. (проблема случайных блуждений).

Человек начинает свое движение от фонаря в узкой улочке, делая шаги длиной l. Вероятность того, что он сделает шаг вправо, равна p, влево – q = 1 – p. Человек настолько пьян, что, делая данный шаг, он совершенно не помнит о направлении предыдущего. Всего он сделал N шагов. Какова вероятность того, что смешение человека от фонаря вправо равно ml, где m − целое число.

Анализ и решение. Каждый шаг пьяного человека является независимым событием. Всего он совершает N таких дискретных событий, для описания которых можно воспользоваться биномиальным распределением (1.3). Чтобы человек оказался на расстоянии ml справа от фонаря, ему нужно сделать влево k, а вправо (k + m) шагов, причем k + (k + m) = N, отсюда число шагов влево k = (N – m)/2, а число шагов вправо k + m = (N + m)/2.

Искомая вероятность:

.

Величины, стоящие справа и слева, безразмерны.

Задача 2.

В Казани 10 февраля родились 1000 младенцев. Найти вероятность того, что родились: а) 400 девочек; б) 500 девочек.

Анализ и решение. Рождение каждого младенца случайное и независимое событие. Из общих соображений следует, что вероятность рождения девочки или мальчика одинакова, как утверждает медицина. Обозначим эти вероятности через p и q, причем p = q = 1/2. Всего произошло N независимых событий. Для вычисления искомой вероятности воспользуемся биномиальным распределением (1.3).

а) .

Однако считать такие числа достаточно сложно, поэтому воспользуемся предельным случаем, когда N − большое, а p ≈ q, т.е. гауссовым распределением (1.4).

;

.

Из полученного результата видно, что вероятность такого события мала, т.е. событие практически невероятное.

б) .

На первый взгляд кажется, что результат неправдоподобен, ибо такое событие должно свершаться с вероятностью, равной приблизительно ½. Однако нужно учесть, что наряду с конкретным событием рождения 500 девочек и 500 мальчиков примерно с такой же вероятностью достаточно много будет происходить событий рождения 499 девочек и 501 мальчика, 499 мальчиков и 501 девочки, 498 девочек и 502 мальчика, 498 мальчиков и 502 девочек и т.д., т.е. приблизительно по 500. При этом сумма вероятностей всех этих событий должна равняться единице, поэтому вероятность конкретного события рождения 500 девочек и 500 мальчиков оказывается малой.

Задача 3.

Рассмотрим ядро со спином, равным ½. Из квантовой механики известно, что магнитный момент μ с вероятностью p может быть направлен по магнитному полю и с вероятностью q − против него. В первом случае магнитный момент μ принимает значение равное μ0, во втором  –μ0. Найти, чему равны и.

Решение. Задача на нахождение среднего значения случайной величины, меняющейся дискретно (формула (1.5)) и принимающей два значения. Для этого случая среднее значение магнитного момента:

,

но p + q = 1 – по условию нормировки вероятностей, тогда:

.

Среднеквадратичное значение момента:

.

Математика примеры решения задач