Примеры решения задач

Математика Электротехника Лабораторные работы Контрольная работа Конспект лекций Электроника Альтернативная энергетикаОптика Сопромат ЭлектростатикаНачертательная геометрия Архитектура Дизайн

Примеры решения задач.

Задача 1. (проблема случайных блуждений).

Человек начинает свое движение от фонаря в узкой улочке, делая шаги длиной l. Вероятность того, что он сделает шаг вправо, равна p, влево – q = 1 – p. Человек настолько пьян, что, делая данный шаг, он совершенно не помнит о направлении предыдущего. Всего он сделал N шагов. Какова вероятность того, что смешение человека от фонаря вправо равно ml, где m − целое число.

Анализ и решение. Каждый шаг пьяного человека является независимым событием. Всего он совершает N таких дискретных событий, для описания которых можно воспользоваться биномиальным распределением (1.3). Чтобы человек оказался на расстоянии ml справа от фонаря, ему нужно сделать влево k, а вправо (k + m) шагов, причем k + (k + m) = N, отсюда число шагов влево k = (N – m)/2, а число шагов вправо k + m = (N + m)/2.

Искомая вероятность:

.

Величины, стоящие справа и слева, безразмерны.

Задача 2.

В Казани 10 февраля родились 1000 младенцев. Найти вероятность того, что родились: а) 400 девочек; б) 500 девочек.

Анализ и решение. Рождение каждого младенца случайное и независимое событие. Из общих соображений следует, что вероятность рождения девочки или мальчика одинакова, как утверждает медицина. Обозначим эти вероятности через p и q, причем p = q = 1/2. Всего произошло N независимых событий. Для вычисления искомой вероятности воспользуемся биномиальным распределением (1.3).

а) .

Однако считать такие числа достаточно сложно, поэтому воспользуемся предельным случаем, когда N − большое, а p ≈ q, т.е. гауссовым распределением (1.4).

;

.

Из полученного результата видно, что вероятность такого события мала, т.е. событие практически невероятное.

б) .

На первый взгляд кажется, что результат неправдоподобен, ибо такое событие должно свершаться с вероятностью, равной приблизительно ½. Однако нужно учесть, что наряду с конкретным событием рождения 500 девочек и 500 мальчиков примерно с такой же вероятностью достаточно много будет происходить событий рождения 499 девочек и 501 мальчика, 499 мальчиков и 501 девочки, 498 девочек и 502 мальчика, 498 мальчиков и 502 девочек и т.д., т.е. приблизительно по 500. При этом сумма вероятностей всех этих событий должна равняться единице, поэтому вероятность конкретного события рождения 500 девочек и 500 мальчиков оказывается малой.

Задача 3.

Рассмотрим ядро со спином, равным ½. Из квантовой механики известно, что магнитный момент μ с вероятностью p может быть направлен по магнитному полю и с вероятностью q − против него. В первом случае магнитный момент μ принимает значение равное μ0, во втором  –μ0. Найти, чему равны и.

Решение. Задача на нахождение среднего значения случайной величины, меняющейся дискретно (формула (1.5)) и принимающей два значения. Для этого случая среднее значение магнитного момента:

,

но p + q = 1 – по условию нормировки вероятностей, тогда:

.

Среднеквадратичное значение момента:

.

Математика примеры решения задач