Физика лекции и примеры решения задач

Задача 4.

Идеальный газ из N молекул находится в равновесии в сосуде объемом V. В части сосуда объемом V1 находится n молекул (Рис.1.1). Чему равно среднее число   молекул в объеме V1 и его дисперсия σ2 ?

Анализ и решение. Появление n молекул из N в объеме V1 − случайное событие, вероятность которого описывается формулой (1.4). Для нахождения среднего значения  воспользуемся соотношением (1.5):

(В таких соотношениях под знаком суммы обязательно стоит усредняемая величина и вероятность ее появления). Так как PN(n) – биномиальное распределение (1.3), то:

. (1)

В этом соотношении неизвестны p и q. Из общих геометрических соображений вероятность того, что какая-то молекула попадет в объем V1, если общий объем V, равна p = V1/V.

Из условия нормировки элементарных вероятностей p + q = 1, где q – вероятность того, что эта молекула в объеме V1 отсутствует, тогда q = 1 – (V1/V). Сумму (1) подсчитать прямым способом достаточно сложно, поэтому воспользуемся искусственным математическим приемом. Возьмем формулу бинома Ньютона:

,

возьмем производную по p от обеих частей этого равенства:

,

домножим обе части на p, тогда:

(2)

Правая часть (2) равна , а левая Np, следовательно:

.

Для нахождения дисперсии воспользуемся ее определением , преобразуем это выражение:

.

Т.е. дисперсия равна разности среднеквадратичного значения случайной величины и квадрата ее среднего значения.

Найдем , используя соотношение (1.5):

.

Для подсчета суммы воспользуемся тем же искусственным приемом: возьмем производную по p от обеих частей (2):

.

Умножая обе части этого выражения на p и учитывая, что p + q = 1, получим:

или

.

Окончательно дисперсия записывается:

.

Задача 5.

На дно круглой чашки с плоским дном равномерно в один слой насыпали мелкие стеклянные шарики. Радиус чашки R. Определить: а) вероятность и плотность вероятности обнаружения шарика внутри кольца радиусами r и r + dr, б) среднее   и среднеквадратичное расстояние от шарика до центра дна чашки.

Анализ и решение. Из геометрических соображений (Рис.1.2) следует, что искомая вероятность мала , где dS1 – площадь кольца с радиусами r и r + dr, S – площадь дна чашки.

Так как dr << r, то площадь кольца с достаточно хорошим приближением можно представить как произведение длины окружности радиуса r на ширину кольца dr, т.е. dS1 = 2πr · dr.

Площадь дна чашки S0 = πR2. Искомая вероятность:

и плотность вероятности, согласно (1.2):

.

Для нахождения  и используем (1.6):

и

.

Откуда среднеквадратичное расстояние .

Размерности левой и правой частей в конечном выражении одинаковы.

Математика примеры решения задач