Начертательная геометрия лекции и примеры решения задач

Математика Электротехника Лабораторные работы Контрольная работа Конспект лекций Электроника Альтернативная энергетикаОптика Сопромат ЭлектростатикаНачертательная геометрия Архитектура Дизайн

Задача 6.

Найти функцию распределения угла между двумя полупрямыми на плоскости, одна из которых закреплена, а у другой все ориентации на плоскости равновероятны.

Анализ и решение. Понятие равновероятности всех направлений на плоскости определяется следующим образом. Пусть полупрямая каждый раз выходит из некоторой точки. Проведем из этой точки на плоскости окружность произвольного радиуса (Рис. 1.3). Все направления полупрямой равновероятны, если вероятность, что полупрямая пройдет через любой отрезок дуги проведенной окружности, пропорциональна длине отрезка и не зависит от его положения.

Пусть радиус окружности равен 1. Вероятность того, что рассматриваемый угол будет заключен в промежутке [α, α + dα], пропорциональна соответствующему дифференциалу дуги, который равен dα. Следовательно,

Постоянная с находится из условия нормировки. Если угол отсчитывается в определенном направлении, то он может принимать значения в промежутке [0, 2π].

Следовательно,

,

и .

Круговые процессы (циклы) Процесс, при котором система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное состояние называется круговым процессом или циклом. На диаграмме процессов цикл изображается замкнутой кривой

Задача 7.

Найти функцию распределения угла между закрепленной полупрямой и полупрямой, все направления которой в пространстве равновероятны.

Анализ и решение.

Понятие равновероятности всех направлений полупрямой в пространстве определяется следующим образом. Пусть полупрямая каждый раз выходит из некоторой точки. Проведем из этой токи сферу единичного радиуса. Будем говорить, что все направления полупрямой равновероятны, если вероятность того, что полупрямая пройдет через любую область сферы, пропорциональна площади поверхности этой области и не зависит от ее формы.

Полупрямую с фиксированным направлением также проведем из центра сферы. Пусть это будет вертикальная полуось (Рис. 1.4). Рассматриваемая случайная величина – угол между двумя полупрямыми – может принимать значения из промежутка [0, π]. Вероятность того, что она примет значение из промежутка [α, α + dα], равна вероятности попадания подвижной полупрямой в заштрихованное на Рис. 1.4 кольцо. Но эта вероятность пропорциональна площади кольца:

Коэффициент с, определяемый из условия нормировки, получается равным 1/4π, поэтому окончательно:

,

а плотность вероятности .

Задача 8 (Задача Бюффона).

Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу бросают иглу длины 2l (l < a). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.

Анализ и решение.

Введем следующие обозначения: x – расстояние от середины иглы до ближайшей параллели, φ – угол, составленный иглой с этой параллелью (Рис. 1.5а).

Положение иглы полностью определяется заданием определенных значений x и φ, причем x принимает значения от 0 до a; возможные значения φ изменяются от 0 до π. Другими словами, середина иглы может попасть в любую из точек прямоугольника со сторонами a и π (Рис. 1.5б). Таким образом, этот прямоугольник можно рассматривать как фигуру G, точки которой представляют собой все возможные положения середины иглы. Очевидно, площадь фигуры G равна πa.

Найдем теперь фигуру g, каждая точка которой благоприятствует интересующему нас событию, т.е. каждая точка этой фигуры может служить серединой иглы, которая пересекает ближайшую к ней параллель. Как видно из Рис. 1.5а, игла пересечет ближайшую к ней параллель при условии , т.е. если середина иглы попадает в любую из точек фигуры, заштрихованной на Рис. 1.5б.

Таким образом, заштрихованную фигуру можно рассматривать как фигуру g. Найдем площадь этой фигуры:

Искомая вероятность того, что игла пересечет прямую:

.

Математика примеры решения задач