Примеры решения залач по физике

Задача 8.

Найти стационарный поток пара от сферической капли жидкости радиуса a в процессе ее испарения. Известны коэффициент самодиффузии паров жидкости в воздухе D, плотность пара на большом расстоянии от капли ρ∞, плотность насыщенного пара ρН. Найти также плотность пара ρ в зависимости от расстояния r от центра капли. Влиянием кривизны поверхности жидкости в капле пренебречь.

Анализ и решение. Стационарный поток пара через любую сферическую поверхность радиуса r, концентрическую относительно поверхности капли, можно записать как:

qm · Sсф = q = const,  (1)

где qm – плотность потока вещества, Sсф – площадь поверхности сферы радиуса r.

Величина qm рассчитывается по закону Фика (8.3):

, а Sсф = 4πr2

и условие (1) становится:

.

Так как q = const, то в полученном дифференциальном уравнении можно провести разделение переменных и проинтегрировать его:

или

.

Из условия, что при r → ∞, ρ = ρ∞, нетрудно определить постоянную, в результате чего:

, (2)

откуда поток:

. (3)

Однако по условию задачи требуется выразить поток пара в виде функции радиуса капли а. Для этого воспользуемся условием, что на поверхности капли, т.е. при r = a, плотность пара ρ = ρH. Подставляя эти величины в (3), получим:

. (4)

Затем, приравнивая правые части уравнений (3) и (4), найдем зависимость плотности пара ρ от расстояния r от центра капли:

.

Математика примеры решения задач