Примеры решения задач по физике

Задача 2.

Теплопроводность гелия при нормальных условиях в 8,7 раза больше, чем у аргона. Найти отношение диаметров атомов аргона и гелия.

Решение. Запишем теплопроводность, согласно (8.1):

 (1)

Как и в предыдущей задаче, запишем входящие в (1) величины только через параметры, зависящие от природы веществ He и Ar, т.к. внешние условия для них одинаковы:

,

,

,

.

Молярные теплоемкости  для одноатомных газов He и Ar, одинаковы, однако, входящая в знаменатель молярная масса M ~ m, поэтому .

Подставляя найденные величины в (1), получим:

χ ~ m-1/2·d-2·n-1·m·n·m-1 ~ m-1/2·d-2,

откуда диаметр молекул:

d ~ (m1/4 · χ 1/2)-1.

Записав такие выражения для He и Ar, получим:

.

Задача 3.

Кубик сделан из четырех чередующихся пластин двух типов разной толщины и теплопроводности. Толщина пластин одного типа b1, теплопроводность – χ1, второго типа b2 и χ2, соответственно. Найти теплопроводность кубика вдоль (χ║) и перпендикулярно (χ) пластинам. Какая теплопроводность больше?

Анализ и решение. Из Рис. 8.1 видно, что длина стороны кубика l = 2b1 + 2b2 = 2(b1 + b2). Подсчитаем теплопроводность кубика вдоль пластин (χ║), когда температура T2 верхней грани больше температуры T1 нижней, т.е. поток тепловой энергии направлен вниз. Согласно (8.2) поток тепла, передаваемый через первую пластинку в единицу времени:

,

– площадь поперечного сечения первой пластинки равная (b1·l).

Аналогичное выражение можно записать и для второй пластинки

.

Тогда общий поток через кубик:

. (1)

С другой стороны, если рассматривать кубик как единое целое с теплопроводностью χ║, то та же передаваемая тепловая энергия запишется:

. (2)

Сравнивая (1) и (2), получим:

.

Для расчета χположим, что разница температур (Т2 –Т1) приложена теперь к боковым граням кубика. Кроме того, введем дополнительные температуры на границах пластинок (рис. 8.1) T’, T’’, T’’’. В этом случае потоки через каждую пластинку и через кубик в целом одинаковы, т.е. .

С учетом (8.2) и того, что площади поперечных сечений каждой пластинки одинаковы, имеем:

.

В этой системе уравнений неизвестными являются T’, T’’ и T’’’, которые нужно выразить через (Т2–Т1), χ1, χ2, b1, b2. Для упрощения введем обозначения χ1/b1 = a1, χ2/b2 = a2, тогда:

. (3)

Будем последовательно «освобождаться» от T’’’, затем Т’’ и T’, выражая их через Т1 и Т2.

Возьмем третий и четвертый члены равенства (3):

a1(T’’’– T’’) = a2(T2 – T’’’),

откуда:

T’’’= (a2T2 + a1T’’)/(a1 + a2).  (4)

Далее используем равенство второго и третьего членов в (3) и заменим T’’’ из (4). Путем несложных алгебраических преобразований получим:

T’’= [a1T2 + (a1 + a2)T’]/(2a1 + a2). (5)

Далее используем равенство первого и второго членов в (3). Заменив T’’ из (5) и выразив в T’ через Т1 и Т2, получим:

T’= [a2T2 + (2a1 + a2)T’]/2(a1 + a2). (6)

Затем, рассмотрим равенство первого и последнего членов (3), заменим Т выражением (6):

,

замена T’ дает:

.

Перейдя к величинам b1 и b2 с учетом введенных обозначений a1 и a2, получим окончательно:

.

Чтобы выяснить, какая величина больше (χили χ║) предположим, что χ> χ║ и подставим в это неравенство полученные значения χи χ║. В результате преобразований нетрудно получить (χ1 – χ2)2 < 0, что абсурдно, следовательно, χ< χ║.

Математика примеры решения задач