Примеры решения задач по физике

Математика Электротехника Лабораторные работы Контрольная работа Конспект лекций Электроника Альтернативная энергетикаОптика Сопромат ЭлектростатикаНачертательная геометрия Архитектура Дизайн

Задача 5 (демонстрационный эксперимент).

Горизонтально расположенный диск радиуса R = 0,2 м подвешен на нити над таким же укрепленным на вертикальной оси диском. Коэффициент кручения нити (отношение приложенного вращающего момента сил М к углу закручивания α) χ = 3,62·10-4 Н.м/рад. Зазор между дисками a = 5 мм. На какой угол α закрутится нить, если нижний диск привести во вращение с угловой скоростью ω = 20 рад/с?

Дано: R = 0,2 м, M/α = χ = 3,62·10-4 Н.м/рад, a = 5 мм = 5·10-3 м, ω = 20 рад/с.

Определить: α.

Анализ и решение. Воздух, прилегающий к нижнему крутящемуся диску, обладает скоростью самого диска, воздух же, прилегающий к верхнему диску имеет скорость почти равную нулю. Таким образом, в зазоре между дисками имеется градиент линейных скоростей, направленных параллельно плоскости дисков. Однако их величины зависят от r. Поэтому удобнее выразить линейную скорость воздуха v через угловую ω, которая одинакова для всех точек диска, т.е. v = ω · r.

Из условий задачи следует, что угол поворота (α) диска α = M/χ. Определим величину M. Для этого выделим на диске кольцо радиуса r и шириной dr (Рис. 8.2). Подсчитаем элементарный момент силы dM = r·dF, действующей на это кольцо со стороны вращающегося диска. Сила, действующая на единицу площади поверхности, разделяющей слои газа:

,

а элементарная сила, действующая на малую площадь поверхности кольца dS = 2πr·dr, может быть записана:

.

Так как v = ωr, то градиент , а элементарный момент силы, действующей на все кольцо,

dM = -2πr·η·r·ωr·dr/a = 2π·η·ω·r3·dr/a.

Полный крутящий момент сил получим интегрируя это выражение:

.

Так как нас интересует только величина M знак «минус» опущен. Тогда угол:

.

Задача 6.

Найти распределение температуры в пространстве между двумя концентрическими сферами с радиусами R1 и R2, заполненными однородным веществом, если температуры обеих сфер постоянны и равны Т1 и Т2.

Анализ и решение. Температуры обеих сфер будут постоянными, если потоки через их поверхности не зависят от радиуса r сфер.

Это условие можно записать как qT · Sсферы = const или , поскольку градиенты T направлены вдоль радиусов сфер. Тогда уравнение переноса:

,

где A’ – константа.

Разделим переменные в уравнении, проинтегрируем его и получим:

,

где А, В – константы.

Их величины найдем из краевых условий:

при r = R1, T = T1,

при r = R2, T = T2.

Тогда:

T1 = A/R1 + B, T2 = A/R2 + B.

Решение этих уравнений дает:

;

,

а распределение температур:

.

Математика примеры решения задач