Примеры решения задач по физике

Математика Электротехника Лабораторные работы Контрольная работа Конспект лекций Электроника Альтернативная энергетикаОптика Сопромат ЭлектростатикаНачертательная геометрия Архитектура Дизайн

Задача 7.

Два сосуда одинакового объема V соединены трубкой большой длины l и малого поперечного сечения S. В начальный момент времени t = 0 в первом сосуде имеется смесь двух изотопов кислорода: 16О2 и 17О2, во втором – только 16О2. Концентрация 17О2 в первом сосуде в момент времени t – C1(t), во втором – C2(t), при t = 0 – C1(0) и 0, соответственно. Определить изменение концентрации C1(t) во времени. Коэффициенты самодиффузии изотопов одинаковы и равны D, давление и температура в обоих сосудах одинаковы.

Анализ и решение. По условиям задачи p и T везде одинаковы. Это означает, что перенос газов может осуществляться только за счет молекулярной диффузии. Составим дифференциальное уравнение процесса. Для этого используем условие, что изменение содержания изотопа 17О2 в сосудах идет за счет его диффузии в трубке. Изменение содержания 17О2 в первом сосуде в момент времени t будет определяться выражением . Оно происходит за счет наличия диффузионного потока 17О2 через трубку, который, согласно (8.3), равен:

.

Приравняем их:

(1)

Однако в (1) входят две неизвестные функции C1(t) и C2(t), что затрудняет его решение. Заменим C2(t). Воспользуемся тем, что число молекул 17О2 в системе остается постоянным. Запишем это условие для t = 0 и любого другого момента времени t:

C1(0) = C1(t) + C2(t), C2(t) = C1(0) – C1(t).

Подстановка этого выражения в (1) дает:

.

Обозначим 2DS/Vl = α, , тогда уравнение принимает вид:

.

Введем новую функцию x = α·C1(t) – β, что приводит к уравнению , которое имеет решение x = B · exp(–αt), где B – константа интегрирования. Проведем замену x, α и β, а для нахождения константы B используем начальное условие, что при t = 0 C1(t) = C1(0). Тогда решение уравнения примет вид:

,

т.е. концентрация изотопа 17О2 меняется экспоненциально со временем. Величина Vl/2DS = τ является характеристическим временем этого процесса.

Математика примеры решения задач