Сопромат Примеры решения задач

Математика Электротехника Лабораторные работы Контрольная работа Конспект лекций Электроника Альтернативная энергетикаОптика Сопромат ЭлектростатикаНачертательная геометрия Архитектура Дизайн

Моменты инерции сечения.

Осевым, или экваториальным, моментом инерции сечения называется геометрическая характеристика, численно равная интегралу:
относительно оси х

/info/1/img/f_6.gif          (1.6)

относительно оси у

/info/1/img/f_6a.gif

где у - расстояние от элементарной площадки dA до оси х (см. рис. 1.1.); х - расстояние от элементарной площадки dA до до оси у; D - область интегрирования.

Полярным моментом инерции сечения называется геометрическая характеристика, определяемая интегралом вида

/info/1/img/f_7.gif          (1.7)

где p - расстояние от площадки dA до точки (полюса) (см. рис. 1.1.) относительно которой вычисляется полярный момент инерции.

Осевой и полярный моменты инерции - величины всегда положительные.

Действительно, независимо от знака координаты произвольной площадки соответствующее слагаемое положительно, так как в него входит квадрат этой координаты.

Центробежным моментом инерции сечения называется геометрическая характеристика, определяемая интегралом вида

/info/1/img/f_8.gif          (1.8)

где х,у - расстояния от площадки dA до осей x и y.

Моменты инерции измеряются в единицах длины в четвертой степени (по СИ - м4, хотя для прокатных профилей по ГОСТу - см4).

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и, в частном случае, равным нулю.

/info/1/img/1_3.gif

Если взаимно перпендикулярные оси х и у или одна из них являются осями симметрии фигуры, то относительно таких осей центробежный момент инерции равен нулю. Действительно, для симметричной фигуры всегда можно выделить два элемента ее площади (рис. 1.3.), которые имеют одинаковые ординаты у и равные, но противоположные по знаку абсциссы х. Составляя сумму произведений xydA для таких элементов, т.е. вычисляя интеграл (1.8.), получают в результате нуль.

Легко доказать, что полярный момент инерции относительно какой-либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку.

Действительно, из рис. 1.1 видно, что

/info/1/img/t1_5.gif
Подставив это значение p2 в выражение (1.7.) получим

/info/1/img/t1_6.gif

Следовательно, Ip = Ix + Iy.



1.3. Моменты инерции простых сечений.

/info/1/img/1_5.gif

1. Прямоугольник (рис. 1.5,а). Вычислим момент инерции сечения относительно оси Х0, проходящей через центр тяжести параллельно основанию.

За dA примем площадь бесконечно тонкого слоя dA = bdy. Тогда
/info/1/img/t1_7.gif
Итак,
/info/1/img/f_11.gif          (1.11)

Аналогично, получим
/info/1/img/f_12.gif          (1.12)

2. Круг (рис. 1.5,б). Сначала определим полярный момент инерции относительно центра круга
/info/1/img/t1_8.gif

За dA принимаем площадь бесконечно тонкого кольца толщиной dp
/info/1/img/t1_9.gif

тогда
/info/1/img/t1_10.gif

Следовательно,
/info/1/img/f_13.gif          (1.13)

Теперь легко найдем Ixo. Действительно, для круга согласно формуле (1.9.), имеем Iр = 2Iхо = 2Iуо, откуда
/info/1/img/f_14.gif          (1.14)

2. Кольцо (рис. 1.5,в). Осевой момент инерции в этом случае равен разности моментов инерции внешнего и внутреннего кругов
/info/1/img/f_15.gif          (1.15)
где c = d/D.

Аналогично полярный момент инерции
/info/1/img/f_16.gif          (1.16)

2. Треугольник (рис. 1.5,г). Определим момент инерции относительно оси x1, параллельной основанию и проходящей через вершину треугольника
/info/1/img/t1_11.gif

За dA примем площадь бесконечно тонкой трапеции KBDE, площадь которой можно считать равной площади прямоугольника:

dA = bydy,

где by - длина прямоугольника.

Легко получить из подобия треугольников

by = yb/h;

тогда
/info/1/img/f_17.gif          (1.17)

Определим момент инерции относительно центральной оси; для этого используем формулу (1.10)
/info/1/img/f_18.gif          (1.18)

Определим момент инерции относительно оси, проходящей через основание:
/info/1/img/f_19.gif          (1.19)

 

 
Математика примеры решения задач