Начертательная геометрия Виды поверхностей и их проекции Линейчатая поверхность Позиционные задачи Метрические задачи Проекции геометрических тел Построение аксонометрических проекций

Метрические задачи. Метрическими называются задачи, решения которых позволяют определить значения различных величин: величину угла, расстояния между точками, площадь сечения, построение угла и отрезка с заданными значениями градусной или линейной величины и др. 

При ортогональном проецировании геометрические объекты, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, проецируются на эти плоскости с искажением их метрических характеристик. В основе алгоритма решения любой метрической задачи лежит свойство ортогонального проецирования: плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в натуральную величину.

В задачах на построение проекции прямого угла используется теорема: если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в прямой угол.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. В качестве пересекающихся прямых чаще всего выбирают горизонталь и фронталь плоскости (рисунок 3.86), так как они проецируются в натуральную величину на соответствующие плоскости проекции (hïçП1, а fïçП2, следовательно, h1 и f2 – натуральные величины).

На чертеже: прямая перпендикулярна плоскости, когда горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали этой плоскости ( а1 ^ h1, а2 ^ f2).

две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Таким образом, чтобы построить плоскость S (n ∩ m), перпендикулярную заданной плоскости
W (h ∩ f), необходимо сначала построить прямую, перпендикулярную данной плоскости (построение прямой а к плоскости DBC дано на рисунке 3.86), и через эту прямую провести искомую плоскость
(рисунок 3.87).

При решении метрических задач, связанных с определением истинных размеров, изображенных на эпюре геометрических объектов, могут встретиться значительные трудности, если заданные проекции не подвергнуть специальным преобразованиям. Рассмотрим на примере: определения расстояния от точки (А) до прямой (m). Искомый отрезок должен быть перпендикулярен этой прямой. В этих двух случаях прямая mïçП2, значит на эту плоскость угол будет проецироваться без искажения. Но так как в первом случае (рисунок 3.88,а) m ^ П1, то отрезок АК ^ m проецируется на плоскость П1 в натуральную величину. А во втором случае (рисунок 3.88,б) удалось построить только проекцию искомого
отрезка.

Сопоставление приведенных чертежей показывает, что трудности решения одной и той же задачи существенно зависят от положения геометрических объектов относительно плоскостей проекций. Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществлять за счет изменения взаимного положения проецируемого отрезка и системы координат.

При ортогональном проецировании это достигается двумя путями. 

1. Перемещение в пространстве проецируемого объекта так, чтобы он занял определенное положение относительно плоскостей проекций: параллельное или перпендикулярное искомому объекту. Это метод плоскопараллельного перемещения или вращения.

2. Проецирование геометрического объекта на дополнительную (или дополнительные) плоскость проекций, которая по отношению к нему занимает частное положение (параллельное или перпендикулярное искомому объекту). Это метод замены плоскостей проекций.

Метод плоскопараллельного перемещения. Изменить взаимное положение проецируемого объекта и плоскостей проекций можно, изменив положение геометрического объекта так, чтобы он занял по отношению к плоскости проекции частное положение (например, перпендикулярное). При этом траектория движения точек объекта – произвольная линия – находится в параллельных плоскостях, которые в свою очередь параллельны какой-либо плоскости проекций (рисунок 3.89). Проекция плоской фигуры хотя и меняет свое положение, но остается конгруэнтной своей проекции в исходном положении.

Комплексный чертех в трех видах Чертеж составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемого оригинала называется комплексным чертежом.

Начертательная геометрия, являясь одной из ветвей геометрии, относящейся к математике, имеет ту же цель, что и геометрия вообще: изучение форм предметов окружающего нас материального мира и отношений между ними, установление закономерностей и применение их к решению практических задач.

Основные свойства параллельного проецирования

Прямые частного положения. прямые общего вида. Относительно плоскостей проекций прямые могут располагаться по разному. Если они параллельны или перпендикулярны плоскостям проекций, то говорят , что это прямые частного положения.

Вертикальная прямая (горизонтально-проецирующая)

Начертательная геометрия