Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Начертательная геометрия Виды поверхностей и их проекции Линейчатая поверхность Позиционные задачи Метрические задачи Проекции геометрических тел Построение аксонометрических проекций

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Пример 1. Определить линию пересечения прямого кругового конуса и цилиндра (рис. 1.1).

Необходимо выбрать секущие плоскости таким образом, чтобы они пересекали данные поверхности по окружностям или прямым. Вполне очевидно, что, если пересечь конус и цилиндр горизонтальной плоскостью, то в сечениях получатся окружности, проекции которых легко построить на горизонтальной плоскости проекций. Необходимо отметить, что горизонтальная проекция окружности, получаемой на поверхности цилиндра будет совпадать с горизонтальной проекцией цилиндра, т. к. цилиндр занимает горизонтально-проецирующее положение.

Определение линии пересечения следует начинать с определения характерных точек, т. е. точек, имеющих максимальные и минимальные координаты. В данном случае характерными являются точки 1 и 4, лежащие на пересечении очерковых образующих цилиндра и конуса. Для определения промежуточных точек проводим горизонтальную секущую плоскость a. Эта плоскость пересечет поверхность конуса по окружностям радиуса R. Строим горизонтальную проекцию этой окружности и на её пересечении с проекцией цилиндра получаем горизонтальные проекции точек 2 и 6. Эти точки принадлежат одновременно трем поверхностям ‑ плоскости a, цилиндру и конусу. Фронтальные проекции точек 2′′ и 6′′ лежат на a. Проводим ещё одну горизонтальную вспомогательную плоскость b. По аналогии строим проекции точек 3 и 5. Таким образом можно построить любое количество точек

Рис. 1.1. Определение линии пересечения поверхностей вращения способом вспомогательных плоскостей (пример 1)

одновременно принадлежащим двум плоскостям. Затем, последовательно соединяя соответствующие проекции найденных точек, определим линию пересечения.

В рассмотренном примере вспомогательные секущие плоскости были взаимно параллельны. Эту же задачу можно также решить с применением пересекающихся плоскостей.

Пример 2. Определить линию пересечения цилиндра и прямого кругового конуса (рис. 1.2).

Если вспомогательную секущую плоскость провести через ось конуса, то она пересечет обе поверхности по прямолинейным образующим. Проведем горизонтально-проецирующую секущую плоскость a, которая пересечет  поверхность конуса по образующей OA. Эта образующая пересекает поверхность цилиндра в точках 2 и 4, горизонтальные проекции которых (2′ и 4′) лежат на горизонтальной проекции цилиндра.

Строим O′′A′′ ‑ фронтальную проекцию образующей, затем по линиям связи определяем 2′′ и 4′′ ‑ фронтальные проекции точек 2 и 4. Точки 2 и 4 принадлежат линии пересечения цилиндра и конуса Проекцию точки 7 находим аналогично с помощью вспомогательной плоскости b.

Фронтальные  проекции характерных точек 1′′ и 5′′ определяем так же как и в примере 1.

При решении некоторых задач нахождения линии пересечения поверхностей вращения очень сложно, иногда невозможно выбрать положение секущей плоскости в соответствии с рекомендуемым алгоритмом. В самом деле, если пересечь эти поверхности горизонтальными плоскостями, то один их конусов они пересекут по окружностям, а второй – по гиперболам. Если же проводить фронтальные плоскости через ось одного конуса, то второй также пересечется по лекальным кривым. В подобных случаях пользуются способом вспомогательных сфер.

Пример 3. Определить линию пересечения поверхностей вращения (рис. 1.3).

Применим способ концентрических сфер. При этом центр сфер выбираем в точке пересечения осей вращения данных поверхностей. Радиус сфер выбираем с таким расчетом, чтобы окружности, получаемые при пересечении сферы с заданными поверхностями, пересекались между собой. Сфера минимального радиуса (Rmin) всегда является касательной к одной поверхности

Рис. 1.2. Определение линии пересечения поверхностей вращения методом вспомогательных секущих плоскостей (пример 2)

Рис. 1.3. Определение линии пересечения поверхностей вращения методом сфер (пример 3)

и пересекает другую. Сфера максимального радиуса (Rmax) обычно проходит через точку пересечения очерковых образующих, в данном случае – через точку 7. Вполне очевидно, что если выбрать сферу больше Rmax, то окружности, получаемые в сечении, не будут иметь общих точек.

Сфера радиуса Rmin касается вертикального конуса по окружности радиуса R1 и пересекает второй конус по окружности радиуса r1). Фронтальные проекции этих окружностей представляют собой отрезки прямых. В точке пересечения этих отрезков получаем фронтальные проекции точек 2 и 8, принадлежащих одновременно трем поверхностям –сфере радиуса Rmin и двум конусам. Горизонтальные проекции этих точек строим следующим образом: точки 2 и 8 принадлежат окружности радиуса R1, следовательно, их горизонтальные проекции будут лежать на горизонтальной проекции этой окружности.

Для определения точек 4 и 6 проведем ещё одну сферу, которая пересечет данные поверхности по окружностям радиуса R2 и r2. Дальнейшие построения аналогичны предыдущим.

При решении подобных задач важным моментом является нахождение характерных точек. В данном случае характерными являются точки, лежащие на очерковых образующих фронтальных проекций конусов. Ход построения проекций точек 1 и 5 очевиден, т. к. их фронтальные проекции 1′′ и 5′′ уже есть, а горизонтальные проекции определены по принадлежности этих точек левой очерковой образующей фронтальной проекции вертикального конуса.

Для определения проекций точек 3 и 7 проведем секущую плоскость a. Эта плоскость пересечет вертикальный конус по окружности радиуса R3. Второй конус пересечется плоскостью по очерковым образующим горизонтальной проекции конуса. Горизонтальные проекции 3′ и 7′ найдены в пересечении горизонтальных проекций этих образующих и окружности радиуса R3.

В данном примере очерковые образующие горизонтальны, однако, встречаются задачи, в которых эти образующие занимают общее положение. В таком случае необходимо решать задачу на определение точки встречи прямой с поверхностью.

Пример . Построить линию пересечения конуса вращения со сферой Плоскостью симметрии данных поверхностей является фронтальная плоскость, поэтому можно применить способ вспомогательных сфер.

Пересечение кривых поверхностей Задача второго типа - одна из поверхностей имеет вырожденный вид

Способ концентрических сфер Предварительно скажем несколько слов о пересечении соосных поверхностей, т.е. поверхностей, имеющих общую ось вращения.

Линия пересечения двух поверхностей второго порядка является кривой четвёртого порядка (т.е. пересекается с плоскостью в четырёх точках). В некоторых частных случаях эта линия пересечения распадается на несколько частей.

Метрические задачи Задачи, в которых решаются вопросы измерения отрезков и углов, определения натуральной формы плоских фигур и т.п., называются метрическими.

Начертательная геометрия