Начертательная геометрия Виды поверхностей и их проекции Линейчатая поверхность Позиционные задачи Метрические задачи Проекции геометрических тел Построение аксонометрических проекций

Позиционные и метрические задачи

Позиционные задачи. К ним относятся задачи, решения которых позволяют определить взаимное расположение геометрических объектов.

Все многообразие позиционных задач может быть отнесено к трем группам:

задачи на построение линии пересечения поверхностей;

задачи на определение точек пересечения линии с поверхностью;

задачи на принадлежность точки линии или поверхности.

Решение этих задач сводится к установлению принадлежности проекции некоторой точки проекции линии. Далее в соответствии со свойством ортогонального проецирования: если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой – устанавливаем принадлежность точки линии, поверхности или двум поверхностям одновременно (линии пересечения).

Взаимное расположение точки и прямой. Если точка лежит на прямой, то ее проекции должны лежать на одноименных проекциях этой прямой (на основе свойства ортогонального проецирования). Из четырех предложенных на рисунке 3.67 точек, только одна точка С лежит на прямой АВ.

Взаимное расположение точки и плоскости. Если точка принадлежит плоскости, то из трех проекций, определяющих положение точки в пространстве, произвольно задать можно только одну. Рассмотрим пример построения проекции точки А, принадлежащей плоскости общего положения, заданной двумя параллельными прямыми  (n || k) (рисунок 3.68). Для этого произвольно зададим проекцию точки А на плоскость П2. Через точку А2 проведем проекцию прямой m2, пересекающую прямые n и k в точках С и В (С, B  m). Построив проекции точек С1 и В1, определяющие положение m1, находим горизонтальную проекцию точки А (А1  m1,
  А  ).

Точка и линия, принадлежащие поверхности. Принадлежность точки поверхности представлена на рисунке 3.69. Поверхность (Ф) задана
семейством линий (l1, l2, l3, l4); точка 1 l1 (11 l11), точка 2 l2 (21  l21), точка 3 l3 (31  l31), точка
4   l4 (41  l41), следовательно, прямая m   Ф (m1  Ф1), а так как точка К  m (К1  m1), то точка
К   Ф (К1  Ф1).

Взаимное расположение прямой и плоскости. Возможны три случая:

прямая принадлежит плоскости;

прямая параллельна плоскости;

прямая пересекает плоскость.

Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат той же плоскости. На рисунке 3.70,а плоскость задана двумя пересекающимися прямыми n и k (n1 ∩ k1; n2∩ k2); точки B и C принадлежат этой плоскости (B1   n1 и C1  k1, B2  n2 и C2  k1), но BC  m B1C1  m1 и B2C2  m2), значит и m2 принадлежит заданной плоскости.

Прямая (n) принадлежит плоскости (m | | k), если имеет с плоскостью одну общую точку (C) и параллельна какой-либо прямой, расположенной в этой плоскости (n | | AB), (рисунок 3.70,б).

Очевидно, что если прямая не имеет двух общих точек с плоскостью, то она или параллельна плоскости, или пересекает ее.

Для того чтобы определить взаимное расположение прямой (а) и плоскости (a), через прямую (а) необходимо провести вспомогательную секущую плоскость (g) и установить относительное положение двух прямых (а и в), последняя из которых является линией пересечения вспомогательной секущей плоскости (g) и данной плоскости (a) (рисунки 3.71, 3.72,а,б).

Если обе прямые совпадают, то прямая лежит в заданной плоскости.

Параллельность прямых укажет на параллельность прямой и заданной плоскости.

При решении вопроса о параллельности прямой линии и плоскости необходимо опираться на известное положение стереометрии: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной
из прямых, лежащих в этой плоскости (см. рисунок 3.71). Проекция прямой на горизонтальную плоскость проекций b1 совпадает с проекцией а1 и со следом дополнительной плоскости g. Проекция прямой b2 параллельна а2, следовательно, прямая а параллельна плоскости a (DBCD).

Пересечение прямых соответствует случаю, когда прямая пересекает заданную плоскость
(а пересекает a в точке К, см. рисунок 3.72).

Рассмотрим пример нахождения точки пересечения прямой и плоскости на эпюре (рисунок 3.72,б). Дана плоскость a (DВСD) и прямая а. Необходимо найти точку пересечения прямой с плоскостью и определить видимость прямой по отношению к плоскости.

1. Через горизонтальную проекцию прямой а1 проводится горизонтальный след вспомогательной горизонтально проецирующей плоскости g, тогда
а Î g.

2. Горизонтальный след плоскости g1 пересекает проекцию плоскости a (DВ1С1D1) в точках 11 и 21. Для нахождения фронтальной проекции точек 12 и 22 проводятся линии связи до пересечения с одноименными сторонами DBCD.

3. Прямые а и 1–2 лежат в одной вспомогательной плоскости g и не параллельны, а на фронтальной проекции наглядно видна точка их пересечения К2.

4. Фронтальная проекция линии пересечения  плоскостей 12–22 пересекает фронтальную проекцию а2 в точке К2, которая и является фронтальной проекцией точки пересечения прямой а с плоскостью a(DВСD), с помощью линии связи находим горизонтальную проекцию К1.

5. Методом конкурирующих точек определяется видимость прямой а по отношению к плоскости a (DВСD). Конкурирующими точками являются точки 3 и 4 (они имеют одинаковое значение координаты z). Точка 3 находится ближе к наблюдателю и дальше от плоскости проекций П2, следовательно, на фронтальной проекции 32 перекрывает 42, а К232 будет невидима.

 

 

 

 

Взаимное расположение двух прямых. Параллельные прямые. Проекции параллельных прямых на любую плоскость (не перпендикулярную данным прямым) – параллельны. Это свойство параллельного проецирования остается справедливым и для ортогональных проекций. В общем случае справедливо и обратное утверждение. Особый случай представляют собой прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Например, если фронтальные и горизонтальные проекции профильных прямых параллельны, то для оценки их взаимного положения необходимо построить проекцию на профильной плоскости проекций (рисунок 3.73). В рассмотренном случае проекции отрезков а1в1ïçc1d1; a2в2ïçc2d2, но а3B3 пересекает С3D3, следовательно, прямые не параллельны.

Пересекающиеся прямые. Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находятся на одной линии связи (рисунок 3.74). В общем случае справедливо и обратное утверждение. Но иногда по двум проекциям невозможно судить о взаимном расположении
прямых. Например, если одна из прямых параллельна профильной плоскости проекций (рисунок 3.75). На рисунке видно, что горизонтальная и фронтальная проекции отрезков АВ и СD пересекаются, причем точка пересечения проекций лежит на одной линии связи. Профильные проекции этих отрезков не пересекаются, следовательно, не пересекаются и сами отрезки в пространстве. Такие прямые называются скрещивающимися.

В случае, когда пересекающие прямые расположены в общей для них проецирующей плоскости, например, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций (рисунок 3.76), о взаимном расположении прямых, лежащих в этой плоскости, можно судить по одной горизонтальной проекции.

Изобpажения и обозначения сваpных швов Cоединения деталей путем сваpки шиpоко pаспpостpанены в совpеменном машиностpоении. Сваpка позволяет создавать пpинципиально новые констpукции машин и сооpужений, основанные на использовании катаных, литых, кованых и штампованных заготовок. Это оказывает влияние не только на отдельные детали объектов, но и на фоpму всей констpукции

Эскиз детали. Тpебования к эскизу В условиях пpоизводства и пpи пpоектиpовании иногда возникает необходимость в чеpтежах вpеменного или pазового пользования, получивших название эскизов. Эскиз - чеpтеж вpеменного хаpактеpа, выполненный, как пpавило, от pуки (без пpименения чеpтежных инстpументов), на любой бумаге, без соблюдения масштаба, но с сохpанением пpопоpциональности элементов детали, а также в соответствии со всеми пpавилами и условностями, установленными стандартами. Эскиз выполняется аккуpатно, непосpедственно с детали. Качество эскиза должно быть близким к качеству чеpтежа

Нормирование шероховатости поверхности Все повеpхности любой детали, независимо от способа их получения, имеют макpо- и микpонеpовности в виде выступов и впадин. Эти неpовности, фоpмиpующие pельеф повеpхности и опpеделяющие ее качество, называют шеpоховатостью повеpхности.

Последовательность выполнения сборочного чертежа Ознакомиться с устpойством, pаботой и поpядком сбоpки сбоpочной единицы. Пpочитать pабочие чеpтежи всех деталей, входящих в сбоpочную единицу, т.е. мысленно пpедставить фоpму и pазмеpы каждой из них, ее место в сбоpочной единице, взаимодействие с дpугими деталями. Выбpать необходимое число изобpажений с таким pасчетом, чтобы на сбоpочном чеpтеже была полностью pаскpыта констpукция изделия и взаимодействие ее составных частей.

Начертательная геометрия