Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Начертательная геометрия Виды поверхностей и их проекции Линейчатая поверхность Позиционные задачи Метрические задачи Проекции геометрических тел Построение аксонометрических проекций

Пересечение поверхностей второго порядка плоскостью. В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций порой бывает сложно определить линию пересечения ее с поверхностью. Наиболее простым представляется случай, когда плоскость проецирующая. Рассмотрим решение задачи по определению линии пересечения сферы фронтально проецирующей плоскостью α (рисунок 3.82).

Окружность, по которой плоскость α пересекает сферу, проецируется на плоскости П1 и П3 в виде эллипса, а на плоскость П2 – в прямую линию, ограниченную очерком сферы. Необходимо для удобства построения обозначить опорные точки:

точки 1 и 8: это две вершины эллипса, определяющие положение малой его оси на горизонтальной плоскости проекции. Их фронтальные проекции определяют пересечение следа плоскости α с очерком сферы, а горизонтальные проекции являются соответственно высшей и низшей точками
сечения;

точки 2 и 3: их профильные проекции принадлежат очерку сферы и определяют зону видимости при построении эллипса на П3;

точки 4 и 5: это две вершины эллипса, указывающие на положение большой оси эллипса. Положение их фронтальных проекций определяется перпендикуляром, опущенным из центра сферы к следу плоскости α;

точки 6 и 7: принадлежат экватору сферы; их горизонтальные проекции лежат на очерке сферы и определяют зону видимости при построении эллипса на П1.

Линия пересечения плоскости α и сферы на фронтальной плоскости проекций совпадает со следом плоскости α2, на котором отмечаем точки
12, …, 82. Для нахождения горизонтальных проекций этих точек в общем случае используется метод вспомогательных секущих плоскостей (β1 и β2 – горизонтальные плоскости уровня). Например, через точки 22 и 32 проведем след плоскости β12; на горизонтальной плоскости проекций линией пересечения плоскости β1 и сферы будет окружность β11, точки 21 и 31 лежат на этой окружности, их положение определяется по линиям связи (в данном случае это осевая линия). Таким образом находятся все точки, кроме 11 и 81, которые, ввиду своего положения на очерке фронтальной проекции сферы, принадлежат горизонтальной осевой линии на плоскости П1. Построенные точки 11, …, 81 соединяем плавной кривой линией с учетом видимости.

Конические сечения. В зависимости от положения секущей плоскости линиями сечения поверхности прямого кругового конуса могут быть (рисунок 3.83): эллипс, парабола, гипербола, а в частных случаях: окружность, прямая, две пересекающиеся прямые и точка.

Если плоскость Ф пересекает все образующие конической поверхности, т. е. если φ > α, то линией  сечения является эллипс. В этом случае секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих конической поверхности.

В частном случае (φ = 90°) такая плоскость пересекает поверхность конуса по окружности; и сечение вырождается в точку, если плоскость проходит через вершину конической поверхности.

Если плоскость Ф параллельна одной образующей поверхности конуса, т. е. φ = α, то линией пересечения является парабола. В частном случае (плоскость является касательной к поверхности конуса) сечение вырождается в прямую.

Если плоскость Ф параллельна двум образующим поверхности конуса (в частном случае параллельна оси), т. е. φ < α, то линией сечения является гипербола. В случае прохождения плоскости через вершину поверхности конуса линией сечения могут быть сами образующие, т. е. гипербола вырождается в две пересекающие прямые.

Рассмотрим решение позиционной задачи по определению линии пересечения поверхности вращения и плоскости общего положения, заданной двумя пересекающимися прямыми α (h ∩ f) (рису-
нок 3.84). Сечение поверхности параболоида вращения Ф плоскостью α (h ∩ f) и проекции этого сечения на плоскость, перпендикулярную оси i, являются кривыми, имеющими ось симметрии. Для решения задачи проведем вспомогательную плоскость β, перпендикулярную оси i. Вспомогательная плоскость пересечет заданную поверхность по параллели p, фронтальная проекция которой p2 совпадает со следом плоскости β2, а горизонтальная проекция p1 – является окружностью. Линией пересечения вспомогательной плоскости с заданной плоскостью α (h∩f) является горизонталь h1.

Параллель p и горизонталь h1, находясь в одной плоскости β, пересекаются в точках 1 и 2, которые принадлежат искомой линии. Полученные точки симметричны друг другу относительно плоскости σ, перпендикулярной хорде 1–2 и проходящей через ее середину. Заметим, что плоскость σ, являясь множеством точек, равноудаленных от концов хорды 1–2, пройдет через ось i поверхности вращения, все точки которой также равноудалены от точек 1 и 2.

Очевидно, что для любой другой пары точек, расположенных на концах хорд других окружностей (но параллельных хорде 1–2), плоскость σ будет также являться плоскостью симметрии. Следовательно, кривая сечения поверхности вращения плоскостью α представляет собой кривую, осью симметрии которой служит линия пересечения плоскостей α и σ – прямая, проходящая через точку s (линия наибольшего ската плоскости α, проходящая через ось поверхности вращения). Таким образом, используя вспомогательные горизонтальные секущие плоскости, можно получить необходимое множество точек для построения линии пересечения плоскости α и поверхности Ф.

Однако если не учитывать характерные точки, определяющие границу зоны видимости линии пересечения, высшую и низшую точки этой линии, построение будет менее точным.

Точки, определяющие зону видимости (3 и 4), расположены на главном меридиане поверхности. Для их построения через этот меридиан проведем вспомогательную секущую плоскость γ, параллельную фронтальной плоскости проекций. Плоскость γ пересекает α по фронтали  f1, которая, в свою очередь, находясь в одной плоскости с главным меридианом, пересекается с ним в искомых
точках 3 и 4.

Высшая и низшая точки сечения (5 и 6) находятся на линии наибольшего наклона (линии ската) плоскости α, проходящей через ось поверхности Ф, т. е. на прямой s. Эту прямую и меридиан поверхности, плоскость которого совпадает с прямой s, повернем вокруг оси i до положения s1, когда прямая s и плоскость меридиана окажутся параллельными П2. Отметим при этом, что точка К пересечения прямой s с осью i остается неподвижной, а вращаемый меридиан в итоге совместится с главным меридианом – очерком фронтальной проекции поверхности вращения. Обозначим точки пересечения фронтальной проекции главного меридиана и повернутой прямой как точки 51 и 61.

Возвращая обратным поворотом прямую s с найденными точками в исходное положение, находим положение точек 5 и 6. Соединив эти точки кривой с учетом видимости, получим линию пересечения плоскости α с поверхностью Ф.

Пересечение многогранника с поверхностью вращения. Аналогично рассматривается случай пересечения поверхности вращения несколькими плоскостями. На рисунке 3.85 представлено решение задачи по нахождению проекций линий пересечения поверхности конуса с тремя гранями призмы.

Рисунок 3.85. Пересечение конуса с призмой

 

Рассмотрим последовательность нахождения проекций точек 4 и 5. Через фронтальные проекции этих точек проводится вспомогательная секущая плоскость φ. Эта плоскость пересекает конус по параллели p, а грань призмы – по прямой линии m, параллельной ребру. На горизонтальной плоскости проекций пересечения p1 и m 1 определяют положение точек 41 и 51. Для более точного построения кривых линий пересечения поверхностей нужно найти еще несколько точек и можно ввести дополнительные секущие плоскости α, β, γ. Проекции всех точек необходимо соединить с учетом видимости – в данном случае видимость линий определяется видимостью граней призмы.

Пересечение плоскости и поверхности, определение натуры сечения Плоские сечения многогранных и кривых поверхностей представляют собой замкнутые фигуры.

Взаимное положение двух плоскостей Две плоскости в пространстве могут: совпадать друг с другом; быть параллельными; пересекаться.

Заранее известен вид кривой (второй тип задач) В практике бывает так, что заранее известен вид кривой, получающейся при пересечении поверхности плоскостью, и которая может быть построена при помощи основных элементов, определяющих эту кривую.

Плоскости, касательные поверхностям

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Для построения линии пересечения таких поверхностей (ломаной линии) необходимо найти точки пересечения ребер одного многогранника с гранями второго, а затем наоборот - ребер второго с гранями первого, т.е. нужно многократно решить задачу на пересечение прямой с плоскостью. Полученные точки будут являться вершинами ломаной линии.

Начертательная геометрия