Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Сопротивление материалов Контрольная работа Шарнирное соединение деталей Вычисления моментов инерции однородных тел

Основы технической механики Лекции и задачи контрольной работы

ТЕОРЕМА О МОМЕНТАХ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ

Этой теоремой пользовался Гюйгенс (1673 г.), общее и строгое доказательство ее дано Л. Эйлером (1749 г.), в литературе она известна как «теорема Гюйгенса», или иногда ее называют «теоремой Штейнера». Штейнер доказал теорему 100 лет спустя (1840 г.) для частного случая (для точек на плоскости). В формулировке Эйлера теорема читается так: момент инерции тела относительно какой-либо оси, равен моменту инерции этого же тела относительно оси ей параллельной, проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

Доказательство. Пусть имеем некоторое твердое тело, момент инерции которого относительно оси СZ, проходящей через центр масс С тела, известен. Обозначим его через IZ. Необходимо вычислить момент инерции этого же тела относительно оси OZ1, параллельной оси СZ и отстоящей от нее на расстоянии ОС = а (рис. 4).

По определению осевого момента инерции: , где mj масса точки Aj. В системе Cxyz xj, yj, zj — ее координаты обозначим: x = xj; y = = yj; z = zj. Теперь опять же по определению осевого момента инерции запишем

где mj — масса точки Aj; x1j, y1j, z1j – ее координаты в новой системе Ox1y1z1.

Как видим из рис.4, x1j = x; y1j = y – a. Тогда, перейдя к старым координатам, получим

 

.

(1)

Теорема доказана.

Здесь (масса тела). , но С(xC; yC; zC);

xC = yC = zC = 0 (C — начало координат);

.

Как видим, , поэтому можно сделать такой вывод: среди всех моментов инерции относительно различных осей данного направления наименьшее значение имеет момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести тела.

Радиус инерции

Очень часто при расчетах пользуются понятием радиуса инерции. Представим себе момент инерции тела относительно оси Z как произведение его массы на квадрат некоторой длины :

Величину

(2)

называют радиусом инерции тела относительно данной оси Z. Радиус инерции   тела можно представить как радиус воображаемого тонкостенного цилиндра, который обладает той же массой, распределенной по его поверхности, и тем же моментом инерции относительно оси, что и данное тело.

Вычисления моментов инерции однородных тел

Пример 1. Определить момент инерции однородного прямолинейного стержня относительно оси, перпендикулярной стержню, проходящей через его конец. Пусть имеем однородный прямолинейный стержень AB = l масса его М, масса единицы длины его  (рис.5), вычислим момент инерции стержня относительно оси Az. Разбиваем стержень на элементарные участки. Возьмем один такой участок длины , масса его . По определению момент инерции

но . Тогда

((3)

Пример 2. Найти момент инерции однородного круглого диска относительно его центра. Пусть имеем однородный круглый диск радиусом R, массой М, масса единицы площади его  (рис. 6). Разобьем диск концентрическими окружностями на элементарные кольца, возьмем одно такое кольцо массой . По определению

, но   и .

(4)

По формуле (4)считается также момент инерции однородного сплошного круглого цилиндра относительно его оси.

Механической системой или системой материальных точек называется совокупность точек, связанных между собой так, что движение каждой точки системы зависит от движения остальных точек системы.

Момент инерции Положение центра масс не полностью характеризует распределение масс системы. Поэтому для более полной характеристики распределения масс вводится еще одно понятие — так называемый момент инерции системы, он характеризует распределение масс системы относительно некоторой точки или оси. Впервые это понятие встречается в работах Гюйгенса (1673 г.), но термин и определение момента инерции дано Л. Эйлером (1749 г.).

Пример 1. Определить момент инерции однородного прямолинейного стержня относительно оси, перпендикулярной стержню, проходящей через его конец. Пусть имеем однородный прямолинейный стержень AB = l масса его М, масса единицы длины его  (рис.5), вычислим момент инерции стержня относительно оси Az.

Пример. Найти момент инерции однородного тонкого кольца относительно его центра.

Основные теоремы динамики являются следствиями, вытекающими из основного закона динамики. Рассмотрим эти теоремы для системы точек.

Пример. Вычислить количество движения колеса весом Р, центр масс которого имеет скорость  

Кинетическим моментом системы или главным моментом количеств движения системы относительно некоторого центра О называется вектор , равный геометрической сумме векторов моментов количеств движения всех точек системы относительно того же центра

Пример 1. Груз В весом P1 поднимается при помощи ворота силой G . Вес барабана ворота P2 радиус барабана R, длина рукоятки ОА = l. Определить ускорение груза В. Барабан считать сплошным однородным цилиндром.

Кинетическая энергия системы T равна сумме кинетических энергий всех точек системы, т. е.

  (1)


Основы технической механики