Математика курс лекций

Высшая математика Векторный анализ Условные изображения цилиндрических зубчатых колес
Математика Электротехника Лабораторные работы Контрольная работа Конспект лекций Электроника Альтернативная энергетикаОптика Сопромат ЭлектростатикаНачертательная геометрия Архитектура Дизайн

Методические указания к выполнению контрольных работ

Контрольная работа №5

Если поверхность  задана уравнением , то уравнение касательной плоскости к поверхности   в точке , имеет вид

,

где   – частные производные

функции   по переменным , вычисленные в точке касания . При вычислении частной производной, например, по переменной , остальные переменные ( и ) считаются фиксированными (постоянными).

Нормалью к поверхности S в точке M0 называется прямая, проходящая через точку M0 и перпендикулярная касательной плоскости к поверхности S в точке M0 .

Из определения нормали следует, что нормальный вектор = (A;B;C) касательной плоскости будет направляющим вектором нормали. Следовательно, канонические уравнения нормали к поверхности S в точке M0 будут иметь вид

  .

Пример. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке .

Решение. Запишем уравнение поверхности в виде . Тогда . Вычисляем частные производные от этой функции в точке :

;

.

Искомое уравнение касательной плоскости запишется в виде  или .

Нормаль перпендикулярна касательной плоскости. Следовательно, нормальный вектор =(−5;3;−1) касательной плоскости будет направляющим вектором нормали. Канонические уравнения нормали будут иметь вид

  .

Ответ:  – уравнение касательной плоскости,

  – уравнения нормали.

К задачам 231 – 240.

Для нахождения экстремумов функции z =f (x,y) сначала нужно найти стационарные точки этой функции, в которых частные производные функции z =f (x,y) равны нулю. Для этого нужно решить систему уравнений:

 (1)

Условие (1) является необходимым условием экстремума, но оно не является достаточным, т.е. в стационарной точке экстремума может и не быть.

Рассмотрим достаточное условие экстремума. Пусть точка M0 – стационарная точка функции z=f (x,y), которая имеет непрерывные частные производные второго порядка на некоторой окрестности точки M0,

 и

  – определитель второго порядка.

Если D>0, то экстремум в точке M0 есть, при этом M0 – точка минимума при A>0 и M0 – точка максимума при A<0. Если D<0, то экстремума в точке M0 нет.

При D=0 требуются дополнительные исследования функции в окрестности точки M0, мы не будем рассматривать этот случай.

Пример. Найти экстремумы функции z = x3 + y3 – 6xy.

Решение. Найдем стационарные точки данной функции. Для этого находим частные производные функции z = x3 + y3 – 6xy, приравниваем их к нулю и решаем полученную систему уравнений.

.

Получили две стационарные точки: М1(0; 0), М2(2; 2). Выясним, есть ли в этих точках экстремумы. Находим частные производные второго порядка.

.

1) Вычислим значения частных производных второго порядка в точке М1:

.

Находим определитель :

.

Поскольку D < 0, то экстремума в точке М1 нет.

2) Вычислим значения частных производных второго порядка в точке М2.

.

Определитель .

Поскольку D > 0 и А > 0, то М2 – точка минимума.

zmin = z(2, 2) = 8 + 8 – 24 = − 8 .

Ответ: zmin = z(2, 2) = − 8 .

 

 

 

Градиентом функции   в некоторой точке  называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным данной функции:

.

Пусть из данной точки  проведен луч , параллельный некоторому вектору . Производной функции  по направлению этого луча называется скорость изменения функции в заданном направлении, то есть

.

Если луч  образует с осями  и  углы  и  соответственно, то  и  являются координатами единичного вектора , параллельного , и производную по направлению можно вычислить по формуле

.

При этом, если направление определяется вектором , то  и значит

.

Линия уровня функции z = f(x, y) – это линия, определяемая уравнением f(x, y) = С, где СÎR.

 

 

Пример.  Дана функция  и две точки  и . Найти градиент функции  в точке  и производную в точке  в направлении вектора .

Решение. Вычислим частные производные в точке  :

;

.

Значит,  .

Найдем направляющие косинусы:

;

.

Вычисляем по формуле производную в заданном направлении:

.

Ответ: .

 

 

 

Операционное исчисление (преобразование Лапласа)

В операционном исчислении функции  действительной переменной  ставится в соответствие функция   комплексной переменной .

Функция   называется оригиналом,  – изображением, что обоз-начают

  или .

Соответствие, определяемое формулой

,

называется преобразованием Лапласа.

Рассмотрим некоторые свойства преобразования Лапласа.

1) Линейность:

,

.

Постоянный множитель  сохраняется при нахождении изображения.

Изображение суммы равно сумме изображений.

2) Теорема смещения:

.

При умножении оригинала на показательную функцию  в изображении надо из аргумента   вычесть число .

3) Дифференцирование изображения:

.

При умножении оригинала f ( t ) на  надо изображение  продиффе-ренцировать и производную умножить на (-1).

4) Изображение производных:

,

,

.

Таблица изображений

 ,

 ,

 ,

 ,

 ,

 ,

 ,

 ,

 .

Здесь  , гиперболические функции

.

 

 

Примеры.

1.  Найти изображение данного оригинала.

1) .

Использовали свойство линейности и формулы

.

2)  .

3) ,  так как .

По теореме смещения в изображении функции  из аргумента  вычли , в изображении  из  вычли .

4) ,  так как .

По свойству дифференцирования изображения оригинал  умножили на , а от изображения  нашли производную и умножили на – 1.

2.  Найти оригинал по заданному изображению.

1) .

Использованы формулы :

.

2)  .

Если в изображении  из  вычесть , то по теореме смещения оригинал  надо умножить на :

.

3) .

4)  .

5) .

6)  .

Чтобы найти оригинал, соответствующий правильной рациональной дроби, надо представить ее в виде суммы простейших дробей, разложив знаменатель на множители.

7) .

Линейному множителю  знаменателя соответствует простейшая дробь первого рода  .

Находим числа . Для этого складываем дроби в правой части и приравниваем числители.

.

Придаем значения  , обращающие одну из скобок в нуль:

.

8)  .

Квадратному трехчлену с комплексными корнями знаменателя соответствует простейшая дробь 2-го рода, у которой числитель есть линейная функция с неизвестными коэффициентами.

.

Для нахождения  приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях р в левой части и в правой. При , при , при , при . Получим систему уравнений, решая которую, находим коэффициенты .

 

Подставляя найденные коэффициенты и используя таблицу изображений, находим оригинал для данного изображения:

.

9)  .

Множителю  соответствуют две простейшие дроби первого рода со знаменателями   и .

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях р. При , при , при , при . Решая полученную систему, находим, что , , , . Используя таблицу изображений, получим, что

Предел последовательности Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое вещественное число то говорят, что задана числовая последовательность Свойства сходящихся последовательностей

Числовую последовательность { a n }, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d , называют арифметической прогрессией .

Числовую последовательность { b n }, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q  ≠ 0, называют геометрической прогрессией

Декартова система координат Системой координат называется совокупность одной, двух, трех или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат . В конкретной невырожденной координатной системе каждой точке соответствует один и только один набор координат. Координаты точки в декартовой системе координат.

Полярная и сферическая системы координат Полярные координаты легко преобразовать в декартовы

Понятие числовой функции Среди всего многообразия явлений природы существуют такие, в которых взаимосвязь величин настолько тесна, что, зная значение одной из них, можно определить и значение другой. Пусть функции y  =  g  ( x ) и z  =  f  ( y ) определены на множествах D и E соответственно, причем множество значений функции f содержится в области определения функции g . Для того, чтобы кривая на декартовой координатной плоскости была графиком функции, необходимо и достаточно, чтобы всякая прямая, параллельная оси ординат, либо не пересекалась с этой линией, либо пересекала ее в одной точке. Согласно этому определению окружность, например, не может быть графиком никакой функции, так как некоторым значениям x точек, принадлежащих этой кривой (например, абсциссе центра окружности), соответствуют два значения y . Диффенцирование неявно заданной функции Математика примеры решения задач контрольной, курсовой, типовой работы

Четность функций

Ранг матрицы

 

Нули функции Рассмотрим вопрос о нахождении нулей функции и промежутков, где функция сохраняет знак. Периодические функции

Монотонность функций Функция f  ( x ) называется возрастающей на промежутке D , если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1 < x 2, выполняется неравенство f ( x 1 ) < f ( x 2 ). Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D ).

  • Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.
  • Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция. Математика примеры решения задач Лекции
  • Если функция f возрастает, то функции cf ( c  > 0) и f  +  c также возрастают, а функция cf  ( c  < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.
  • Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/ f убывает.
  • Если функция f возрастает и неотрицательна, то где , также возрастает.
  • Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f   n также возрастает.
  • Композиция g  ( f  ( x )) возрастающих функций f и g также возрастает.

    Точка наибольшего или наименьшего значения может быть экстремумом функции, но не обязательно им является. Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка.

    Преобразование графиков функций

    Параллельный перенос Пусть имеется график функции y  =  f  ( x ). Зададимся целью построить график функции y  =  f 1  ( x ), где f 1  ( x ) =  f  ( x ) +  B . Ясно, что области определения этих функций совпадают. Пусть A  ( x 0 ;  y 0 ) – точка на графике функции y  =  f  ( x ). Соответствующая ей точка A ′ ( x 0 ;  y 1 ) с той же абсциссой имеет координаты A ′ ( x 0 ;  y 0  +  B ).

    Сжатие (растяжение) графика к оси OX задается с помощью системы уравнений

    Отражение относительно осей и точек Пусть имеется график функции y  =  f  ( x ). Чтобы получить график функции, симметричный данному относительно оси OX , нужно умножить значение функции в каждой точке области определения на –1. Алгебраически это задается системой:

    Построение графика суммы (произведения) двух функций производится сложением (умножением) ординат точек графиков с одинаковыми абсциссами. Приведем для примера графики функций y  =  x  + sin  x и y  =  x  sin  x , являющихся соответственно суммой и произведением графиков y  =  x и y  = sin  x .

Высшая математика Векторный анализ Условные изображения цилиндрических зубчатых колес
Математика примеры решения задач