Задачи построений сечений многогранников

Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Электротехника
ТОЭ типовые задания примеры
решения задач
Радиотехнические схемы Генераторы
Лабораторные работы
Контрольная работа
Конспект лекций
Электротехника, электроника
Линейные цепи постоянного тока
Переменный ток. Приборы и оборудование
Комплексный метод расчета
цепей синусоидального тока
Электрические цепи с
взаимной индуктивностью
Расчет неразветвленных
магнитных цепей
Электромагнитные устройства
Трансформаторы
Однофазный асинхронный двигатель
Электронно-оптические приборы
Электронные усилители и генераторы
Источники питания электронных устройств
Измерение тока и напряжения
Работа электрической машины
постоянного тока в режиме генератора
История искусства
Стили в архитектуре и дизайне
Стиль АРТДЕКО
Париж оставался центром стиля арт-деко
Развитие традиционной архитектуры
Восточного Китая
ТВОРЧЕСТВО ЛЕ КОРБЮЗЬЕ
ТВОРЧЕСТВО  ВАЛЬТЕРА ГРОПИУСА
Людвиг Мис ван дер Роэ
ЭКОЛОГИЧЕСКИЙ ДОМ
Здание Калифорнийской Академии наук
История дизайна
Дизайн в моде
Литература о дизайне
Линия борьбы с академизмом
в искусстве и эстетике
Объяснение промышленного искусства
Дизайнерское проектирование
для промышленности
ТОМАС МАЛЬДОНАДО
Джордж Нельсон
ДИЗАЙН В ДЕЙСТВИИ
фирма «Вестингауз»
„ОЛИВЕТТИ" Фабрика пишущих машин
Активное развитие дизайна «Оливетти»
НОН-ДИЗАЙН
ДИЗАЙН В ДЕЙСТВИИ
авторские концепции дизайна
ДИЗАЙН И ИСКУССТВО
Европейский «артистический» дизайн
Первичность деятельности художника
Современный элитарный дизайн
Художественное проектирование
Индустриальный дизайн
Стиль в дизайне. Понятие "фирменный стиль"
Абстракционизм
ПЕРВЫЕ ШКОЛЫ ДИЗАЙНА Баухауз
ДИЗАЙН В ПРЕДВОЕННУЮ ЭПОХУ
ПОСЛЕВОЕННЫЙ ДИЗАЙН
ДИЗАЙН 60-х
АЛЬТЕРНАТИВНЫЙ ДИЗАЙН
Государственный дизайн
ДИЗАЙН-ТЕХНОЛОГИИ БУДУЩЕГО
Прикладное искусство Византии IV–VII века
Поверхности
Начертательная геометрия
Задачи по математике
Математика Методические указания
к выполнению контрольных работ
Решение линейных дифференциальных уравнений и систем
операционным методом
Область сходимости степенного ряда
Математический анализ
Пример решения типового задания
Найти значение производной функции
Линейная алгебра
Задачи по физике
Оптика
Электростатика
Энергетика
Системы теплоснабжения
Региональный опыт энергосбережения
Тепловые насосы
Проектирование аккумуляторов теплоты
Малая гидроэнергетика
Ветроэнергетика в России
Гелиоэнергетика
Активные гелиосистемы отопления зданий
Гидротермальные системы
Закрытые системы геотермального
теплоснабжения
Мини-теплоэлектростанция на отходах
Энергия морских течений
Водородная экономика
Основы технической механики
Сопротивление материалов
Контрольная работа
Шарнирное соединение деталей
Вычисления моментов инерции
однородных тел
 

Область сходимости степенного ряда

Областью сходимости степенного ряда

является интервал сходимости , включая, возможно, и концы этого интервала.

Радиус сходимости находится по формуле

.

Внутри интервала сходимости  ряд абсолютно сходится, вне интервала – расходится (рис. 1).

 


На концах интервала, при  и , ряд надо исследовать на сходимость отдельно.

Если  , то ряд сходится абсолютно при всех , т.е. на всей числовой прямой; при  ряд сходится в единственной точке  .

Если степенной ряд записан по степеням :

,

то внутри интервала сходимости  надо заменить на :

,  т.е. .

При значениях  ряд надо исследовать на сходимость отдельно.

 

 

Пример.  Найти область сходимости ряда

  ,

 – коэффициент при :

.

,

.

Исследуем ряд на сходимость на концах интервала:

 ряд расходится.

  :  ряд расходится.

Концы интервала в область сходимости не входят.

.

 

 

К задачам 361 − 370.

Представление определённого интеграла числовым рядом

Чтобы определённый интеграл  представить числовым рядом, нужно подынтегральную функцию y = f (x) разложить в ряд Маклорена:

а затем почленно проинтегрировать полученный степенной ряд на отрезке . Если степенной ряд сходится при , то полученный после интегрирования числовой ряд тоже сходится, и его сумма будет равна . При решении этой задачи можно использовать известные ряды Маклорена для элементарных функций, а именно:

Пример. Представить определённый интеграл  числовым рядом.

Решение. Запишем ряд Маклорена для функции  , используя ряд Маклорена для функции  при  .

Подставим  t = x2 , получим ряд Маклорена для подынтегральной функции :

  .

Полученный степенной ряд сходится при  , значит левую и правую часть последней формулы можно проинтегрировать на отрезке , получим:

 

 

К задачам 371 − 380.

Ряд Фурье

Ряд Фурье для периодической функции   с периодом  имеет вид

,

,

,

.

Значение   в коэффициентах Фурье  надо выбрать так, чтобы на отрезке интегрирования   была известна формула для функции .

Перед тем как разлагать функцию в ряд Фурье, надо построить график функции и из графика определить, не является ли функция четной или нечетной.

 

 

Ряд Фурье для четной функции

Функция   называется четной, если . График четной функции симметричен относительно оси .

Ряд Фурье для четной функции имеет вид

 ,

.

Ряд Фурье для нечетной функции

Функция  называется нечетной, если . График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Ряд Фурье для нечетной функции имеет вид

,

.

 

 

Пример.  Разложить в ряд Фурье функцию

.

 


.


График функции симметричен относительно начала координат (рис. 2). Функция нечетная: .

.

,  т.к.

 при 

.

 

 

К задачам 381 − 390.

Двойные интегралы

Двойной интеграл можно вычислить двумя способами:

Подпись:  Подпись: yПодпись: DПодпись:  Подпись: y .

Подпись: б)Подпись: a)Подпись: 0Подпись: DПодпись:  Подпись:  Подпись:  Подпись: xПодпись:  Подпись: bПодпись: aПодпись:  Подпись:  Подпись: 0

В первом случае область  лежит между вертикальными прямыми  и , а снизу и сверху ограничена линиями  и  (рис. 3, а).

Во втором случае надо провести горизонтальные прямые  и , между которыми лежит область , а  и  – уравнения линий, ограничивающих область  слева и справа (рис. 3, б).

Площадь плоской области

Если взять , то двойной интеграл дает площадь области интегрирования  :

.

 

 

Двойной интеграл в полярных координатах

Примеры. Вычислить площадь области, ограниченной данными линиями, с помощью двойного интеграла.

1) 

Область   ограничена сверху двумя линиями ( и ). Поэтому через точку А проведем вертикальную прямую и разобьем область на две области (рис. 6).

.

 
 


 
2) .

 Заданная область изображена

 на рис. 7.

 
 


.

 

 

Объём тела

Если функция z = f (x ; y) непрерывна и неотрицательна на области D, то объём тела, ограниченного поверхностью, заданной функцией z = f (x , y) , плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью с образующими параллельными оси Oz и проходящими через граничные точки области D, равен двойному интегралу .

  При нахождении объёма тела, ограниченного данными поверхностями, нужно найти проекцию этого тела на координатную плоскость Oxy, т.е. найти область D, затем найти функцию z = f (x , y) и вычислить двойной интеграл . Если область D – часть круга, то при вычислении двойного интеграла следует перейти к полярным координатам. Если тело ограничено сверху двумя поверхностями (см. пример 382), то его нужно разбить на две части так, чтобы каждая часть была ограничена сверху только одной поверхностью. Объём каждой части нужно вычислить с помощью двойного интеграла, а затем сложить результаты.

Пример. С помощью двойного интеграла найти объём тела, ограниченного поверхностями , y = 0, z = 0 и x + y + z = 2.

Решение. Уравнения  и y = 0 не содержат переменной z, они задают цилиндрические поверхности с образующими параллельными оси Oz. Плоскости z = 0 и x + y + z = 2 ограничивают данное тело соответственно снизу и сверху, пересекаются по прямой x + y = 2 в координатной плоскости Oxy. Значит, область D (проекция данного тела  на координатную плоскость Oxy) будет ограничена линиями ,  y = 0 и x + y = 2.

Построим область D (рис. 8). Заметим, что линии   и x + y = 2 пересекаются в точке А(1; 1).

Из уравнения x + y + z =2 находим  z = 2 – x – y , т.е. f (x, y) = 2 – x – y.

 

.

  Ответ: 0,85.

 

 

Вычисление криволинейного интеграла

по плоской кривой

Криволинейный интеграл по плоской кривой

сводится к определенному интегралу, если из уравнения кривой   выразить одну координату через другую, например,

и результат подставить в криволинейный интеграл. Пределы интегрирования –   и .

Для горизонтальной прямой  , для вертикальной – , .

Формула Грина

Формула Грина

выражает циркуляцию векторного поля  по замкнутому контуру (криволинейный интеграл по замкнутому контуру) через двойной интеграл по области , ограниченной этим контуром.

Пример. 

Вычислить 

где   есть треугольник ;

а) непосредственно и б) по формуле Грина.

 


.

а)  ,

,

,

  .

 


б)

.

.

.

 .

Или

.

 

 

 

Вычисление криволинейного интеграла по пространственной кривой

Пусть задано векторное поле

.

Криволинейный интеграл по пространственной кривой

сводится к определенному интегралу, если в уравнениях кривой   две координаты выразить через третью, например,

и результат подставить в криволинейный интеграл.

  – пределы интегрирования в определенном интеграле.

Вводятся следующие понятия.

Оператор Гамильтона – символический вектор  (набла):

;

дивергенция вектора  – функция

;

ротор вектора  – векторное произведение векторов  и :

.

Если  , то поле   называется соленоидальным, если   – потенциальным.

Потенциал векторного поля 

Если ,  то поле  является потенциальным,  т.е. существует потенциал вектора  – функция , удовлетворяющая условию

,

т.е.

.

Чтобы найти потенциал , нужно вычислить криволинейный интеграл

по любой линии, соединяющей точки  и в окончательном ответе  заменить малыми буквами .

В качестве линии интегрирования удобно взять ломаную, звенья которой параллельны осям координат, а за точку  выбрать начало координат , если поле  определено в этой точке.

Запишем уравнения звеньев ломаной и найдем дифференциалы функций, полученных из уравнений звеньев.

 

z

 

y

 

О

 

C

 

B

 

x

 

Рис. 11

 

 

 

Пример.  Показать, что векторное поле

является потенциальным и найти его потенциал .

.

.

.

.

.

.

В функцию  можно добавить произвольную постоянную .

Проверка:

.

.

.

Построения на изображениях

В этом параграфе рассматриваются задачи построений сечений многогранников. При этом, безусловно, все построения будут проводиться на изображении многогранника и, соответственно, строиться изображение сечения. Способы задания плоскости в таких задачах могут быть различными: с помощью трех точек, точки и условия параллельности какой-либо плоскости, двух параллельных прямых и т. д. Рассмотрим одну типичную задачу.

Трехгранный угол – это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих углов называется вершиной трехгранного угла. Стороны углов называются ребрами , плоские углы при вершине трехгранного угла называются его гранями . Грани трехгранного угла образуют двугранные углы Параллелепипед

Многогранник, у которого одна грань, называемая основанием , – многоугольник, а другие грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой .

Прямым круговым цилиндром называется тело, образованное вращением прямоугольника вокруг своей стороны.

Прямым круговым конусом называется тело, образованное при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета Интегрирование функций нескольких переменных Математика примеры решения задач контрольной, курсовой, типовой работы

Конические сечения – плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью. Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Примеры решения типовых задач: матрицы

За исключением вырожденных случаев, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы. С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка.

Открывателем конических сечений предположительно считается Менехм (IV в. до н. э.). Менехм использовал параболу и равнобочную гиперболу для решения задачи об удвоении куба.

Трактаты о конических сечениях, написанные Аристеем и Евклидом в конце IV в. до н. э., были утеряны, но материалы из них вошли в знаменитые «Конические сечения» Аполлония Пергского, которые сохранились до нашего времени. Аполлоний, варьируя угол наклона секущей плоскости, получил все конические сечения из одного кругового конуса, прямого или наклонного. Аполлонию мы обязаны и современными названиями кривых – эллипс, парабола и гипербола.

Эллипс. Если концы нити заданной длины закреплены в точках F 1  и  F 2, то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F 1 и F 2 называются фокусами эллипса, а отрезки V 1 V 2 и v 1 v 2 между точками пересечения эллипса с осями координат – большой и малой осями . Если точки F 1 и F 2 совпадают, то эллипс превращается в окружность.

Множество всех точек пространства, одинаково удаленных на расстояние R от данной точки O , называется сферой Касания круглых тел с прямой и плоскостью Плоскости, равноудаленные от центра сферы, пересекают ее по равным окружностям

Прямая, касающаяся сферы – это прямая, которая имеет единственную общую точку со сферой. Аналогично можно ввести понятие касательной прямой к поверхности конуса (цилиндра) , однако при этом рассматриваются прямые, не проходящие через точки на основании конуса (цилиндра) и через вершину конуса.

Выпуклый многогранник называется вписанным , если все его вершины лежат на некоторой сфере. Эта сфера называется описанной для данного многогранника Выпуклый многогранник называется описанным , если все его грани касаются некоторой сферы. Эта сфера называется вписанной для данного многогранника. Теорема о вписанной сфере треугольной пирамиды

Если сфера вписана в многогранник, то объем этого многогранника равен где S – площадь полной поверхности многогранника, r – радиус вписанной сферы.

Поверхности второго порядка

К невырожденным поверхностям второго порядка относятся эллипсоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, однополостной гиперболоид и двуполостной гиперболоид. Строгое изучение этих поверхностей проводится в курсе аналитической геометрии.

Свойства гиперболического параболоида. Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число. Гиперболический параболоид обладает осевой симметрией относительно оси Oz , плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz . В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат Oz , получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy , – парабола.

Понятие объема в пространстве вводится аналогично понятию площади для фигур на плоскости.

Матрицы. Операции над матрицами

Прямоугольной матрицей размера m´n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов

Пример . Найти произведение матриц

Пример . Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором X = (10, 15, 23). Используются ткани четырех типов Т 1, Т 2, Т 3, Т 4. В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Вектор С = (40, 35, 24, 16) задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор P = (5, 3, 2, 2) - стоимость перевозки метра ткани каждого вида.

Определители Перестановкой чисел 1, 2,..., n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12...n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего Свойства определителей

Пример . Не вычисляя определителя , показать, что он равен нулю. Пример . Вычислить определитель

Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу. Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A).

Пример . Найти методом окаймления миноров ранг матрицы . Обратная матрица Для матрицы найти обратную.

Критерий совместности Кронекера-Капелли Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна

Метод Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Формулы Крамера

Показательная функция Упростите выражение Обратные тригонометрические функции

Рассмотрим функцию f  ( x ) = tg  x для Пример Докажите тождество Уравнения, содержащие модуль

Математика примеры решения задач