Математика примеры решения задач контрольной работы

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 Задача 1. Даны вершины треугольника АBС: А,(—4; 8), В(5; —4), С(10; 6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравне­ния сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение вы­соты CD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC.

Решение: 1. Расстояние d между точками М1(x1;y1) и M2(х2; у2) определяется по формуле:

  (1)

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

==15

2. Уравнение прямой, проходящей через точки M1(х1; y1) и М2(х2; у2), имеет вид:

  =  (2)

Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой А В:

3y-24=-4x-16, 4x+3y-8=0(AB).

Для нахождения углового коэффициента АВ прямой AB разрешим полученное уравнение относительно y: y=-

Отсюда Rав=  . Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.

x+7y-52=0 (AC)

Отсюда kAC =

3. Угол  между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны kх и R2, определяется по формуле: tg   (3)

 

Угол A, образованный прямыми АВ и АС, найдем по форму­ле (3), подставив в нее k1 = kAB = k2=kAC=

tg A= = =  = 1,

 

4. Так как высота СD перпендикулярна стороне AB, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

kCD=.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку M1{х1;у1) в заданном угловым коэффициентом R направле­нии, имеет вид:

y-y1=k(x1-x2) (4)

Подставив в формулу (4) координаты точки С и RCD =  получим уравнение высоты CD:

y-6=, 4y-24=3x-30, 3x-4y-6=0 (CD). (5)

Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив

систему уравнений (АВ) и (CD):

 откуда x=2, y=0, то есть D(2;0)

Подставив в формулу (1) координаты точек С и D находим:

CD=  = 10.

 5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке В (а; b) имеет вид:

(x-a)2+ (y-b)2=k2 (6)

Так как CD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись фор­мулами деления отрезка пополам, получим:

Следовательно, Используя формулу (6),

получаем уравнение искомой окружности: 

6. Множество точек треугольника ABC есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и содержит точку A, а третья ограничена прямой АС и содержит течку В.

  Для получения неравенства, определяющего полуплос­кость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, под­ставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:

Поэтому искомое неравенство имеет вид: .

Для составления неравенства, определяющего полуплос­кость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А, най­дем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) коорди­наты точек В и С:

2х—у—14=0 (ВС).

 Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем:   Искомое неравенство будет 2х—у—140. Подобным образом составим неравенство, оп­ределяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и со­держащую точку В:   Третье искомое неравенство  Итак, множество точек треугольника ABC определяется системой неравенств

  На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат
хОу изображен треугольник ABC, высота CD,окружность с центром в точке Е.