|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Даны вершины треугольника АBС: А,(—4; 8), В(5; —4), С(10; 6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC.
Решение: 1. Расстояние d между точками М1(x1;y1) и M2(х2; у2) определяется по формуле:
(1)
Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:
=
=15
2. Уравнение прямой, проходящей через точки M1(х1; y1) и М2(х2; у2), имеет вид:
=
(2)
Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой А В:
3y-24=-4x-16, 4x+3y-8=0(AB).
Для нахождения углового коэффициента
АВ прямой AB разрешим полученное уравнение относительно y: y=-
Отсюда Rав=
. Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.
x+7y-52=0 (AC)
Отсюда kAC =
3. Угол
между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны kх и R2, определяется по формуле: tg
(3)
Угол A, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее k1 = kAB =
k2=kAC=
tg A=
=
=
= 1,
4. Так как высота СD перпендикулярна стороне AB, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.
kCD=
.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку M1{х1;у1) в заданном угловым коэффициентом R направлении, имеет вид:
y-y1=k(x1-x2) (4)
Подставив в формулу (4) координаты точки С и RCD =
получим уравнение высоты CD:
y-6=
, 4y-24=3x-30, 3x-4y-6=0 (CD). (5)
Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив
систему уравнений (АВ) и (CD):
откуда x=2, y=0, то есть D(2;0)
Подставив в формулу (1) координаты точек С и D находим:
CD=
= 10.
5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке В (а; b) имеет вид:
(x-a)2+ (y-b)2=k2 (6)
Так как CD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:
Следовательно,
Используя формулу (6),
получаем уравнение искомой окружности:
6. Множество точек треугольника ABC есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и содержит точку A, а третья ограничена прямой АС и содержит течку В.
Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:
Поэтому искомое неравенство имеет вид:
.
Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А, найдем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) координаты точек В и С:
2х—у—14=0 (ВС).
Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем:
Искомое неравенство будет 2х—у—14
0. Подобным образом составим неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и содержащую точку В:
Третье искомое неравенство
Итак, множество точек треугольника ABC определяется системой неравенств
На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат
хОу изображен треугольник ABC, высота CD,окружность с центром в точке Е.
| Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями |
