Элементы линейной алгебры Математический анализ Вычислить пределы Найдите производные функции Построить графики функций Изменить порядок интегрирования в интеграле Найти объем тела Найти массу тела

Математика примеры решения задач контрольной работы

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

ЗАДАНИЕ 1. Найти область определения функции

а) y=arcsin; б) y=.

РЕШЕНИЕ.

а) Ограничения на допустимые значения x возникают из-за присутствия функции арксинус: 11, а также из-за невозможности равенства нулю знаменателя: x1. Решаем систему неравенств методом интервалов, преобразовав каждое из них к дроби, сравниваемой с нулем:

  ; 

Ответ. x; 1/2] .

б) Ограничения на допустимые значения x возникают из-за присутствия функции логарифм: 4 >0, из-за присутствия квадратного корня: x0, а также из-за невозможности равенства нулю знаменателя: lg(4 –)0, то есть 3. Из первого ограничения следует x <16, из последнего  x9.

Ответ. x0; 9)  (9; 16).

ЗАДАНИЯ 2 – 3. Построить графики функций

а) y=; б) y=arccos(12x);  в) y=sin+cos;

г) y=1+ tgx ; д) y=.

РЕШЕНИЯ.

а) y=. Область определения функции: x¥; 2)(2; 2)(2; +¥ ).

Заметим, что y==. Сначала снимем модуль и построим график

 функции  y===1+. Его тоже построим не сразу. Первое построение: график гиперболы y=(рис.1). Замена x на x2 соответствует параллельному переносу построенного графика вдоль оси x вправо на 2 единицы. Прибавление к y единицы соответствует параллельному переносу графика на единицу вверх (рис.2). Возвратим теперь снятый модуль, зеркально отразив наверх часть графика, находящуюся ниже оси x. Наконец, вспомним об области определения и “выколем” точку графика, соответствующую значению x = – 2.

Ответ представлен на рис.3.

Рис.1  Рис.2 Рис.3

б) y=arccos(1–2x). Область определения: множество действительных чисел x, удовлетворяющих неравенствам – 11–2x1.

Первое построение: график функции y=arccos x (рис.4). Второе: подстановка x вместо x означает зеркальное отражение всего графика относительно оси y; получится график функции y=arccos (x) (рис.5). Заметим, что знак ““ нельзя вынести изпод знака функции, она не является нечетной. Далее требуются сжатие в горизонтальном направлении к оси y в 2 раза (рис.6) для получения графика функции y=arccos (2x) и параллельный перенос, который удобнее выполнить последним. Чтобы увидеть на сколько единиц перенести график, нужно в формуле y=arccos(12x), задающей функцию, вынести за скобку коэффициент перед x: y=arccos(2(x1/2)). Подстановка x1/2 вместо x соответствует параллельному переносу предыдущего графика вправо на 1/2.

Ответ представлен на рис.7.

Рис.4  Рис.5 Рис.6 Рис.7


в) y=sin|x|+cos|x|. Область определения: x¥; +¥). Заметим, что заданная функция четна. После преобразований

y=sin|x|+cos|x|= ( sin|x|+ cos|x|)=

=(sinsin|x|+ coscos|x|)=cos(|x|)

становится ясно, что график может быть получен из графика функции y=cos x

через параллельный перенос вправо на 4что соответствует подстановке

x4вместо x рис.8, и последующую замену части, расположенной слева от оси y, на зеркально отраженную относительно этой оси правую часть свойство графиков четных функций симметрия относительно оси y.

Ответ представлен на рис.9


Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями