Элементы линейной алгебры Математический анализ Вычислить пределы Найдите производные функции Построить графики функций Изменить порядок интегрирования в интеграле Найти объем тела Найти массу тела

Математика примеры решения задач контрольной работы

ЗАДАНИЕ 4. Построить графики функций:

а) ;  б) ; в) ; г) ;

д) ;  е) . R > 0, a > 0, b > 0.

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ.

График функции, заданной параметрически, должен быть построен в декартовой системе координат (x, y) на плоскости. Изображаются точки с координатами x(t), y(t). Методы построения: 1) использование свойств функций x(t) и y(t) и вычисление их значений при некоторых значениях параметра t; 2) исключение параметра t с целью получения зависимости вида x = x(y) или y = y(x) или 

F(x, y) = 0; 3) преобразования известных графиков.

Построенная кривая может объединять в себе графики нескольких функций y=y(x); при исключении параметра новая функциональная зависимость может оказаться не равносильной исходной: она следствие; кривая, построенная по новой зависимости, может содержать больше точек.


РЕШЕНИЕ.

а) . Из условия следует: xR, R], yR, R]. Использование известного тригонометрического тождества cos2t + sin2t = 1 позволяет исключить параметр, получим: x2 + y2 = R2  окружность радиуса R с центром в начале координат. Верхняя полуокружность является графиком функции , нижняя графиком функции .

 У параметра t в этой задаче простой геометрический смысл: полярный угол. Значению t=0 соответствует точка (R,0), значению t=/2 точка (0,R), возрастанию параметра соответствует “движение” точки по кривой против часовой стрелки; точка “пробежит” всю окружность один раз при изменении t от 0 до 2.

Ответ. Кривая представлена на рис.14.

б) . Из условия следует: xa, a], yb, b]. Использование тождества cos2t + sin2t = 1 приводит к уравнению . Записав его в форме , делаем вывод, что кривая, которую мы должны изобразить, может быть получена из окружности x2 + y2 =1 путём растяжения её в a раз вдоль оси x и в b раз вдоль оси y. Это эллипс.

Ответ. Кривая представлена на рис.15.

в) . Из условия следует: xa, a], ya, a].

Исключение параметра приводит к уравнению , то есть . В данном случае получено незнакомое уравнение. Из его анализа можно сделать вывод о том, что кривая симметрична относительно обеих координатных осей, так как x и y входят в уравнение в четных степенях. Найдем точки пересечения с осями: x=±a, y=±a, они соответствуют значениям параметра t=0, t=, t=/2, t=3/2. Вычислим координаты точки, соответствующей t=4: x= y= a/4; точка лежит на биссектрисе первого координатного угла, ее координаты меньше, чем у середины отрезка, соединяющего точки (a,0) и (0, a). Примерный вид графика ясен. Заданная кривая называется астроидой.

Ответ. Кривая представлена на рис.16.

г) . Из условия следует: x¥, ¥ ), y, 2a]. Кривая называется циклоидой. Значению t=0 соответствует точка (0,0). Так как производная ( t) =a(1 cost) ³ 0, а функция sin t ограниченная, то координата x(t) будет неограниченно возрастать с увеличением значения параметра. Координата y(t) возрастет от значения 0 при t=0 до значения 2a при t=, затем будет убывать до значения 0 при t=2; далее такое ее изменение будет периодически повторяться. Заметив, что x(t) = x(t), y(t) = y(t), делаем вывод о симметричности графика относительно оси y.

Ответ. График изображен на рис.17.

д) . Из условия следует: x, ¥ ). Исключая параметр, получим уравнение y = log 2(1x). Однако в этой задаче новая функциональная зависимость не эквивалентна начальной, она следствие; поэтому, построив график функции y = log 2(1x), удалим из него точки, соответствующие значениям x£0.

Ответ. График изображен на рис.18.

е) . Из условия следует: x1, 1]. На прямой y = 1 оставляем точки, соответствующие значениям переменной x от 1 до 1. С изменением параметра t точка совершает периодические колебательные движения вдоль получившегося отрезка.

Ответ. График изображен на рис.19.

Рис.14  Рис.15 Рис.16 Рис.17


Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями