Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Элементы линейной алгебры Математический анализ Вычислить пределы Найдите производные функции Построить графики функций Изменить порядок интегрирования в интеграле Найти объем тела Найти массу тела

Математика примеры решения задач контрольной работы

ЗАДАНИЕ 4. Построить графики функций:

а) ;  б) ; в) ; г) ;

д) ;  е) . R > 0, a > 0, b > 0.

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ.

График функции, заданной параметрически, должен быть построен в декартовой системе координат (x, y) на плоскости. Изображаются точки с координатами x(t), y(t). Методы построения: 1) использование свойств функций x(t) и y(t) и вычисление их значений при некоторых значениях параметра t; 2) исключение параметра t с целью получения зависимости вида x = x(y) или y = y(x) или 

F(x, y) = 0; 3) преобразования известных графиков.

Построенная кривая может объединять в себе графики нескольких функций y=y(x); при исключении параметра новая функциональная зависимость может оказаться не равносильной исходной: она следствие; кривая, построенная по новой зависимости, может содержать больше точек.


РЕШЕНИЕ.

а) . Из условия следует: xR, R], yR, R]. Использование известного тригонометрического тождества cos2t + sin2t = 1 позволяет исключить параметр, получим: x2 + y2 = R2  окружность радиуса R с центром в начале координат. Верхняя полуокружность является графиком функции , нижняя графиком функции .

 У параметра t в этой задаче простой геометрический смысл: полярный угол. Значению t=0 соответствует точка (R,0), значению t=/2 точка (0,R), возрастанию параметра соответствует “движение” точки по кривой против часовой стрелки; точка “пробежит” всю окружность один раз при изменении t от 0 до 2.

Ответ. Кривая представлена на рис.14.

б) . Из условия следует: xa, a], yb, b]. Использование тождества cos2t + sin2t = 1 приводит к уравнению . Записав его в форме , делаем вывод, что кривая, которую мы должны изобразить, может быть получена из окружности x2 + y2 =1 путём растяжения её в a раз вдоль оси x и в b раз вдоль оси y. Это эллипс.

Ответ. Кривая представлена на рис.15.

в) . Из условия следует: xa, a], ya, a].

Исключение параметра приводит к уравнению , то есть . В данном случае получено незнакомое уравнение. Из его анализа можно сделать вывод о том, что кривая симметрична относительно обеих координатных осей, так как x и y входят в уравнение в четных степенях. Найдем точки пересечения с осями: x=±a, y=±a, они соответствуют значениям параметра t=0, t=, t=/2, t=3/2. Вычислим координаты точки, соответствующей t=4: x= y= a/4; точка лежит на биссектрисе первого координатного угла, ее координаты меньше, чем у середины отрезка, соединяющего точки (a,0) и (0, a). Примерный вид графика ясен. Заданная кривая называется астроидой.

Ответ. Кривая представлена на рис.16.

г) . Из условия следует: x¥, ¥ ), y, 2a]. Кривая называется циклоидой. Значению t=0 соответствует точка (0,0). Так как производная ( t) =a(1 cost) ³ 0, а функция sin t ограниченная, то координата x(t) будет неограниченно возрастать с увеличением значения параметра. Координата y(t) возрастет от значения 0 при t=0 до значения 2a при t=, затем будет убывать до значения 0 при t=2; далее такое ее изменение будет периодически повторяться. Заметив, что x(t) = x(t), y(t) = y(t), делаем вывод о симметричности графика относительно оси y.

Ответ. График изображен на рис.17.

д) . Из условия следует: x, ¥ ). Исключая параметр, получим уравнение y = log 2(1x). Однако в этой задаче новая функциональная зависимость не эквивалентна начальной, она следствие; поэтому, построив график функции y = log 2(1x), удалим из него точки, соответствующие значениям x£0.

Ответ. График изображен на рис.18.

е) . Из условия следует: x1, 1]. На прямой y = 1 оставляем точки, соответствующие значениям переменной x от 1 до 1. С изменением параметра t точка совершает периодические колебательные движения вдоль получившегося отрезка.

Ответ. График изображен на рис.19.

Рис.14  Рис.15 Рис.16 Рис.17


Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями