Элементы линейной алгебры Математический анализ Вычислить пределы Найдите производные функции Построить графики функций Изменить порядок интегрирования в интеграле Найти объем тела Найти массу тела

Математика примеры решения задач контрольной работы

ЗАДАНИЕ 5. Построить графики функций: а) Rб)  =5/4;

в) ;  г) sin  д) sin(е) 2cos; ж) 4cos3

з) 4sin3и) 

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. Методы построения графика функции, заданной в полярных координатах: 1) использование свойств функции() и вычисление ее значений при некоторых значениях угла  с дальнейшим нанесением точки на расстоянии() на луч, выходящий из полюса под углом к полярной оси; 2) переход к декартовым координатам с целью получения зависимости вида

 x = x(y), или y = y(x), или F(x,y)=0; 3) преобразование известного графика.

Связь полярных и декартовых координат точки такова: x =cos

  y =sintg= y/x см. рис.20.

РЕШЕНИЕ.

а) RТочки, составляющие кривую, находятся на одинаковом, равном R, расстоянии от полюса. Кривая является окружностью радиуса R.

Ответ. График изображен на рис.21.

б)  =5/4. Точки, составляющие кривую, имеют одинаковый полярный угол, следовательно, кривая является лучом, выходящим из полюса.

Ответ. График изображен на рис.22.

Рис.18  Рис.19 Рис.20 Рис.21 Рис.22

в) Область определения:Î[0,¥), так как координата  - расстояние от точки до полюса - не может принимать отрицательных значений. Рассмотрим часть графика, соответствующую изменению  от 0 до 2. Вместе свозрастает и  Точка, находящаяся в полюсе при =0, во время первого оборота против часовой стрелки вокруг полюса удалится от него на расстояние 2При дальнейшем вращении расстояние будет продолжать расти. Кривая называется спиралью Архимеда.

Ответ. График изображен на рис.23.

г) sin Так как по определению 0, то область определения функции: все действительные значения   при которых sin. Отсюда следует, что кривая расположена в верхней полуплоскости по отношению к полярной оси. В данном случае является периодической функцией от с периодом 2, поэтому достаточнорассмотреть значения Î[0,Поскольку sinпринимает симметричные значения в точках, симметрично расположенных справа и слева относительно вертикали, проходящей через полюс, кривая также будет симметрична относительно нее. Во время изменения угла от 0 до /2 sinнепрерывно изменится от 0 до 1, следовательно, точка удалится от полюса на 1. При дальнейшем росте угла точка, перемещаясь уже в правой полуплоскости, снова вернется в полюс при . Кривая, по которой движется точка, выглядит как петля см. рис.24.

Если перейти к декартовым координатам, можно убедиться в том, что в данном случае петля является окружностью. Действительно, умножим уравнение на sin x2+y2=y; x2 + (y1/2)2 =1/4  уравнение окружности радиуса 1/2 с центром в точке (0,1/2).

Ответ. График изображен на рис.24.

д) sin(Рассмотрим два подхода к построению графика.

1. Применив формулу приведения, получим: cos Повторяя рассуждения пункта г), увидим, что графиком является окружность, расположенная в правой относительно полюса полуплоскости, ее уравнение: (x1/2)2 + (y)2 = 1/4.

2. Заметим, что при построении графика функции y=f(x) замена x на xa означает смещение графика в сторону возрастания x при a> 0 и в сторону убывания x при a< 0. Аналогично при замене на 2 происходит смещение графика функции sin  в сторону убывания углато есть поворот окружности, построенной в пункте г на 90° в отрицательном направлении по часовой стрелке.

Ответ. График изображен на рис.25.

е) 2cosИз условия ³0 следует, что кривая расположена в той части плоскости, где cos ³/2. Так как является периодической функцией от с периодом 2, достаточнорассмотреть значения от 5/6 до +5/6. Значения cos  одинаковы для пар точек плоскости, расположенных симметрично относительно горизонтали, проходящей через полярную ось, поэтому кривая будет симметрична относительно этой горизонтали. Наибольшее значение расстояния от точки до полюса получается при = 0, =2. Наименьшее расстояние =0 получается при= ± 5/6. При изменении угла  от 0 до +5/6 точка постепенно приближается к полюсу.

Ответ. График изображен на рис.26.

Рис.23  Рис.24 Рис.25 Рис.26

ж) 4cos3По определению³0. Период функции cos3 равен Т=2/3. Поэтому при изменении  от 0 до 2определяются три интервала решений неравенства cos3 ³ 0, каждый из них содержит 26 радиан. Они изображены на рис.27. В каждом из этих интервалов изменяетсяот 0 до 4 и снова до 0, получается петля, отражающая удаление точки от полюса при повороте и вновь приближение к нему. Кривая называется трехлепестковой розой. Длина “лепестка”, то есть наибольшее удаление точки от полюса, равна 4.

Ответ. График изображен на рис.28.

Заметим, что аналогично строится график функции acos(nпри любом n. Роза имеет n лепестков, для ее построения плоскость разбивается лучами, выходящими из полюса, на 2n частей, каждая по (22nрадиан - интервалы знакопостоянства функции cos(n. В половине из них, там, где cos(n0, строятся лепестки.

з) 4sin3Как и в пункте ж) – это трехлепестковая роза; различие в том, что теперь при = 0 вместо наибольшего удаления точки от полюса середины “лепестка” имеем 0 и с поворотом точки против часовой стрелки только начинает расти начинается “лепесток”.

Ответ. График изображен на рис.29.

и) Область определения функции: все действительные значения  при которых sin–1. Кривая симметрична относительно вертикали, проходящей через полюс см. пункт г). Координата является периодической функцией от с периодом 2, поэтому достаточнорассмотреть значения Î[0,2Ближайшее положение точки к полюсу соответствует = /2, при этом  1/2. При изменении от /2 до 3/2 расстояние от точки кривой до полюса неограниченно увеличивается. Переход в уравнении  к декартовым координатам позволяет “узнать” параболу:

 sin=1; sin=1; y=1; x2+y2 = (1y)2; x2 = 12y;

y= x2/2 +1/2.

Ответ. График изображен на рис.30.

  Рис.27 Рис.28 Рис.29 Рис.30


Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями