Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Элементы линейной алгебры Математический анализ Вычислить пределы Найдите производные функции Построить графики функций Изменить порядок интегрирования в интеграле Найти объем тела Найти массу тела

Математика примеры решения задач контрольной работы

ЗАДАНИЕ 5. Построить графики функций: а) Rб)  =5/4;

в) ;  г) sin  д) sin(е) 2cos; ж) 4cos3

з) 4sin3и) 

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. Методы построения графика функции, заданной в полярных координатах: 1) использование свойств функции() и вычисление ее значений при некоторых значениях угла  с дальнейшим нанесением точки на расстоянии() на луч, выходящий из полюса под углом к полярной оси; 2) переход к декартовым координатам с целью получения зависимости вида

 x = x(y), или y = y(x), или F(x,y)=0; 3) преобразование известного графика.

Связь полярных и декартовых координат точки такова: x =cos

  y =sintg= y/x см. рис.20.

РЕШЕНИЕ.

а) RТочки, составляющие кривую, находятся на одинаковом, равном R, расстоянии от полюса. Кривая является окружностью радиуса R.

Ответ. График изображен на рис.21.

б)  =5/4. Точки, составляющие кривую, имеют одинаковый полярный угол, следовательно, кривая является лучом, выходящим из полюса.

Ответ. График изображен на рис.22.

Рис.18  Рис.19 Рис.20 Рис.21 Рис.22

в) Область определения:Î[0,¥), так как координата  - расстояние от точки до полюса - не может принимать отрицательных значений. Рассмотрим часть графика, соответствующую изменению  от 0 до 2. Вместе свозрастает и  Точка, находящаяся в полюсе при =0, во время первого оборота против часовой стрелки вокруг полюса удалится от него на расстояние 2При дальнейшем вращении расстояние будет продолжать расти. Кривая называется спиралью Архимеда.

Ответ. График изображен на рис.23.

г) sin Так как по определению 0, то область определения функции: все действительные значения   при которых sin. Отсюда следует, что кривая расположена в верхней полуплоскости по отношению к полярной оси. В данном случае является периодической функцией от с периодом 2, поэтому достаточнорассмотреть значения Î[0,Поскольку sinпринимает симметричные значения в точках, симметрично расположенных справа и слева относительно вертикали, проходящей через полюс, кривая также будет симметрична относительно нее. Во время изменения угла от 0 до /2 sinнепрерывно изменится от 0 до 1, следовательно, точка удалится от полюса на 1. При дальнейшем росте угла точка, перемещаясь уже в правой полуплоскости, снова вернется в полюс при . Кривая, по которой движется точка, выглядит как петля см. рис.24.

Если перейти к декартовым координатам, можно убедиться в том, что в данном случае петля является окружностью. Действительно, умножим уравнение на sin x2+y2=y; x2 + (y1/2)2 =1/4  уравнение окружности радиуса 1/2 с центром в точке (0,1/2).

Ответ. График изображен на рис.24.

д) sin(Рассмотрим два подхода к построению графика.

1. Применив формулу приведения, получим: cos Повторяя рассуждения пункта г), увидим, что графиком является окружность, расположенная в правой относительно полюса полуплоскости, ее уравнение: (x1/2)2 + (y)2 = 1/4.

2. Заметим, что при построении графика функции y=f(x) замена x на xa означает смещение графика в сторону возрастания x при a> 0 и в сторону убывания x при a< 0. Аналогично при замене на 2 происходит смещение графика функции sin  в сторону убывания углато есть поворот окружности, построенной в пункте г на 90° в отрицательном направлении по часовой стрелке.

Ответ. График изображен на рис.25.

е) 2cosИз условия ³0 следует, что кривая расположена в той части плоскости, где cos ³/2. Так как является периодической функцией от с периодом 2, достаточнорассмотреть значения от 5/6 до +5/6. Значения cos  одинаковы для пар точек плоскости, расположенных симметрично относительно горизонтали, проходящей через полярную ось, поэтому кривая будет симметрична относительно этой горизонтали. Наибольшее значение расстояния от точки до полюса получается при = 0, =2. Наименьшее расстояние =0 получается при= ± 5/6. При изменении угла  от 0 до +5/6 точка постепенно приближается к полюсу.

Ответ. График изображен на рис.26.

Рис.23  Рис.24 Рис.25 Рис.26

ж) 4cos3По определению³0. Период функции cos3 равен Т=2/3. Поэтому при изменении  от 0 до 2определяются три интервала решений неравенства cos3 ³ 0, каждый из них содержит 26 радиан. Они изображены на рис.27. В каждом из этих интервалов изменяетсяот 0 до 4 и снова до 0, получается петля, отражающая удаление точки от полюса при повороте и вновь приближение к нему. Кривая называется трехлепестковой розой. Длина “лепестка”, то есть наибольшее удаление точки от полюса, равна 4.

Ответ. График изображен на рис.28.

Заметим, что аналогично строится график функции acos(nпри любом n. Роза имеет n лепестков, для ее построения плоскость разбивается лучами, выходящими из полюса, на 2n частей, каждая по (22nрадиан - интервалы знакопостоянства функции cos(n. В половине из них, там, где cos(n0, строятся лепестки.

з) 4sin3Как и в пункте ж) – это трехлепестковая роза; различие в том, что теперь при = 0 вместо наибольшего удаления точки от полюса середины “лепестка” имеем 0 и с поворотом точки против часовой стрелки только начинает расти начинается “лепесток”.

Ответ. График изображен на рис.29.

и) Область определения функции: все действительные значения  при которых sin–1. Кривая симметрична относительно вертикали, проходящей через полюс см. пункт г). Координата является периодической функцией от с периодом 2, поэтому достаточнорассмотреть значения Î[0,2Ближайшее положение точки к полюсу соответствует = /2, при этом  1/2. При изменении от /2 до 3/2 расстояние от точки кривой до полюса неограниченно увеличивается. Переход в уравнении  к декартовым координатам позволяет “узнать” параболу:

 sin=1; sin=1; y=1; x2+y2 = (1y)2; x2 = 12y;

y= x2/2 +1/2.

Ответ. График изображен на рис.30.

  Рис.27 Рис.28 Рис.29 Рис.30


Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями