Элементы линейной алгебры Математический анализ Вычислить пределы Найдите производные функции Построить графики функций Изменить порядок интегрирования в интеграле Найти объем тела Найти массу тела

Математика примеры решения задач контрольной работы

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

ЗАДАНИЯ 6 - 11. Вычислить пределы:

6) ; 7); 8);

9) ; 10) ; 11) .

РЕШЕНИЯ.

6) . В числителе – разность бесконечно больших функций, не эквивалентных между собой при x ® +¥:  

При этом – x = o(x3/2), следовательно, выделяя главную часть, получим:

В знаменателе – разность бесконечно больших функций, имеющих один порядок при x ® +¥. Поэтому 

Вычисляем предел:  =  =

Ответ.  = – ¥.

7). Имеет место неопределенность (¥ ¥). После приведения к общему знаменателю получим отношение двух многочленов: = =

=. Неопределенность не исчезла, но она стала другой, теперь это (0/0). Делаем вывод: x = 1 общий корень многочленов в числителе и знаменателе. Выделяем в числителе множитель (x1) и сокращаем дробь:

==1/2.

Ответ. =1/2.

8) . Имеет место неопределенность (0/0). Рассматривая числитель как разность ab, умножим его но a2+ab+b2, чтобы получить разность кубов a3b3, тогда нуль в числителе будет получаться при подстановке x=2 не в иррациональном выражении, а в многочлене и множитель (x2) можно будет выделить.

==

áвторой множитель в знаменателе заменяем его предельным значением и затем выносим за знак пределаñ

= = = сокращаем на, убирая неопределенность =  = 0.

Ответ. = 0.

9) . Имеет место неопределенность (0/0). Наличие тригонометрических функций говорит о возможном использовании первого замечательного предела =1 и следующей из него эквивалентности sin x ~ x при x0. Чтобы было легче увидеть, есть ли такая возможность, введем новую переменную y=(x/3), стремящуюся к нулю:

 =  = =

  siny ~ y==

= sin(y/2) ~ y/2

== = 1/

применена формула косинуса суммы и использована возможность заменить при вычислении предела множитель на ему эквивалентный.

Ответ. = 1/.

10) . Имеет место неопределенность (). В такой ситуации попробуем использовать второй замечательный предел (1+1/n)n=e. Обычно удобнее другая его форма: (1+y)1/y = e. Преобразуем выражение в скобках к виду 1+y:  =  = 1 .

При n  новая переменная y= 0. Итак,

  (1+y)1/y = = e.

Вернемся к пределу, заданному в условии. ==

используется теорема о пределе показательно-степенной последовательности: =при существовании an и bn конечных или бесконечных кроме случаев (), (00), (0). Предел в показателе вычисляем, используя эквивалентности 3n2+3n~ 3n2 и n2+5~ n2. Получаем: = e 3.

Приведем другое решение этой задачи, в котором исследование неопределенности () сводится к исследованию неопределенности ().

===

= = используя непрерывность показательной функции, поменяем местами знак функции и знак предела = = используем эквивалентность ln(1+y) ~ y при y0 , y= =

=== e3.

Ответ. = e 3.

11). Имеет место неопределенность (0/0), так как 2x = 0, 3x = 0, arctg y = 0 и ln(1+y)=0. Применяя эквивалентности arctg y ~ y и ln(1+y) ~ y при y0, получим:  = 2x/3x = =(2/3)x = +¥, так как показательная функция с основанием, меньшим единицы, неограниченно возрастает при x.

Ответ.  = +.


Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями