Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Элементы линейной алгебры Математический анализ Вычислить пределы Найдите производные функции Построить графики функций Изменить порядок интегрирования в интеграле Найти объем тела Найти массу тела

Математика примеры решения задач контрольной работы

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

ЗАДАНИЯ 6 - 11. Вычислить пределы:

6) ; 7); 8);

9) ; 10) ; 11) .

РЕШЕНИЯ.

6) . В числителе – разность бесконечно больших функций, не эквивалентных между собой при x ® +¥:  

При этом – x = o(x3/2), следовательно, выделяя главную часть, получим:

В знаменателе – разность бесконечно больших функций, имеющих один порядок при x ® +¥. Поэтому 

Вычисляем предел:  =  =

Ответ.  = – ¥.

7). Имеет место неопределенность (¥ ¥). После приведения к общему знаменателю получим отношение двух многочленов: = =

=. Неопределенность не исчезла, но она стала другой, теперь это (0/0). Делаем вывод: x = 1 общий корень многочленов в числителе и знаменателе. Выделяем в числителе множитель (x1) и сокращаем дробь:

==1/2.

Ответ. =1/2.

8) . Имеет место неопределенность (0/0). Рассматривая числитель как разность ab, умножим его но a2+ab+b2, чтобы получить разность кубов a3b3, тогда нуль в числителе будет получаться при подстановке x=2 не в иррациональном выражении, а в многочлене и множитель (x2) можно будет выделить.

==

áвторой множитель в знаменателе заменяем его предельным значением и затем выносим за знак пределаñ

= = = сокращаем на, убирая неопределенность =  = 0.

Ответ. = 0.

9) . Имеет место неопределенность (0/0). Наличие тригонометрических функций говорит о возможном использовании первого замечательного предела =1 и следующей из него эквивалентности sin x ~ x при x0. Чтобы было легче увидеть, есть ли такая возможность, введем новую переменную y=(x/3), стремящуюся к нулю:

 =  = =

  siny ~ y==

= sin(y/2) ~ y/2

== = 1/

применена формула косинуса суммы и использована возможность заменить при вычислении предела множитель на ему эквивалентный.

Ответ. = 1/.

10) . Имеет место неопределенность (). В такой ситуации попробуем использовать второй замечательный предел (1+1/n)n=e. Обычно удобнее другая его форма: (1+y)1/y = e. Преобразуем выражение в скобках к виду 1+y:  =  = 1 .

При n  новая переменная y= 0. Итак,

  (1+y)1/y = = e.

Вернемся к пределу, заданному в условии. ==

используется теорема о пределе показательно-степенной последовательности: =при существовании an и bn конечных или бесконечных кроме случаев (), (00), (0). Предел в показателе вычисляем, используя эквивалентности 3n2+3n~ 3n2 и n2+5~ n2. Получаем: = e 3.

Приведем другое решение этой задачи, в котором исследование неопределенности () сводится к исследованию неопределенности ().

===

= = используя непрерывность показательной функции, поменяем местами знак функции и знак предела = = используем эквивалентность ln(1+y) ~ y при y0 , y= =

=== e3.

Ответ. = e 3.

11). Имеет место неопределенность (0/0), так как 2x = 0, 3x = 0, arctg y = 0 и ln(1+y)=0. Применяя эквивалентности arctg y ~ y и ln(1+y) ~ y при y0, получим:  = 2x/3x = =(2/3)x = +¥, так как показательная функция с основанием, меньшим единицы, неограниченно возрастает при x.

Ответ.  = +.


Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями