Элементы линейной алгебры Математический анализ Вычислить пределы Найдите производные функции Построить графики функций Изменить порядок интегрирования в интеграле Найти объем тела Найти массу тела

Математика примеры решения задач контрольной работы

ЗАДАНИЯ 12 - 13. Исследовать функции на непрерывность и построить эскизы графиков:

12) y =;  13) y=

РЕШЕНИЯ.

12) y =. Область определения – все действительные числа, кроме x=3. Точки разрыва x=3, в остальных точках функция непрерывна, так как она является элементарной напоминаем: элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения. Чтобы определить типы разрывов, понадобится вычислить односторонние пределы y; y; y; y. Через непрерывные составляющие сложной функции знаки пределов можно пронести: y = и т.д. Ясно, что все пределы 1/(x29); 1/(x29); 1/(x29);  1/(x29) бесконечны. Со знаками бесконечностей разберемся с помощью метода интервалов рис.31

Рис.31. Знаки дроби 1/(x29)

Отсюда 1/(x29)= +¥; 1/(x29)= ¥; 1/(x29)= ¥;

  1/(x29)= +¥. Вычислим теперь пределы функции y: y=; y=; y=y=

под значком  понимаем предел 8x = +¥, аналогично  =8x = 0. Можно переходить к построению эскиза графика, поведение функции в окрестностях точек разрыва выяснено. В обеих точках – разрывы первого рода, а именно: скачки, так как односторонние пределы конечны, но не совпадают. Рисунок сделать легче, если дополнительно посмотреть на поведение функции при x. Вычислим

y == 1/2;  y== 1/2.

Ответ. В точках x=3 функция имеет разрывы первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рис.32.

13) y=.  Область определения: x¥, ¥).

Ось x разбивается на три интервала, на каждом из которых функция y(x) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычисляем односторонние пределы. Вспомним, что log1/2 t стремится к ¥ , если t стремится к нулю.

y =log 1/2 (x1)=+¥y =(x1)= 2,

y = (x1)=0, y = log 1/2 x= 0.

Делаем выводы: в точке x= 1 функция имеет разрыв второго рода, так как левый односторонний предел бесконечен; в точке x= 1 функция непрерывна, так как, во-первых, левый и правый односторонние пределы конечны и одинаковы и, во-вторых, они равны заданному в условии значению функции при x= 1.

Ответ. В точке x = 1 функция имеет разрыв второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рис.33.

  Рис.32 Рис.33


Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями