Элементы линейной алгебры Математический анализ Вычислить пределы Найдите производные функции Построить графики функций Изменить порядок интегрирования в интеграле Найти объем тела Найти массу тела

Математика примеры решения задач контрольной работы

ЗАДАНИЕ 20. Убедиться в потенциальности поля вектора

,

найти потенциал  поля и вычислить работу этого поля при перемещении точки единичной массы от точки  до точки .

РЕШЕНИЕ.

Для поля , заданного в односвязной области, критерием потенциальности служит равенство нулю вихря этого поля. Вычислим:

, т.е. поле потенциально. Восстановим потенциал поля. Это можно сделать по формуле

или по одной из аналогичных ей пяти формул, отражающих движение от точки   к точке  вдоль отрезков, параллельных осям координат, по той, которая упрощает вычисление интегралов. По приведенной выше формуле получим

=

.

Потенциал поля определяется с точностью до постоянной. В потенциальном поле работа равна приращению потенциала, т.е. разности значений потенциала в двух точках и не зависит от формы пути перемещения материальной точки:

.

Ответ. .

  ЗАМЕЧАНИЕ. При решении следующих задач будут использованы термины, которые мы сейчас введем.

 Область (D) плоскости будем называть y-трапецией, если она может быть задана системой неравенств вида a x b, y1(x)  y y2(x). Такая область допускает удобную штриховку вертикальными отрезками: все их нижние концы лежат на кривой y = y1(x), все верхние на кривой y y2(x)  (рис.71).

 Аналогично введем понятие x-трапеции: c y d, x1(y)  x x2(y). (рис.71). Для x-трапеции удобна горизонтальная штриховка.

Рис.71

В случае y-трапеции =;

в случае x-трапеции =.

 Тело (T) в пространстве назовем z-брусом, если оно может быть задано следующим образом: (x, y)ÎD длянекоторой области D в плоскости , ограниченной замкнутой кусочно-гладкой кривой, z1(x,y)  z z2(x,y). Каждый z-брус может быть “заполнен” отрезками ,параллельными оси , нижние концы которых лежат на поверхности z z1(x,y) ”дне”, а верхние  на поверхности  z z2(x,y) ”крышке”. Аналогично введем понятия y-бруса и x-бруса (рис.72).

В случае z-бруса .

Рис.72


Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями