Элементы линейной алгебры Математический анализ Вычислить пределы Найдите производные функции Построить графики функций Изменить порядок интегрирования в интеграле Найти объем тела Найти массу тела

Математика примеры решения задач контрольной работы

ЗАДАНИЕ 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

 .

РЕШЕНИЕ.

 Тело  ограничено с “боков” плоскостью  и цилиндром (цилиндрической поверхностью) . “Снизу” тело “накрыто” плоскостью ,  сверху – плоскостью . Изобразим на чертеже заданное тело (рис.74).

Рис.74

Очевидно, тело  есть - цилиндрический брус. Область (), являющуюся ортогональной проекцией тела   на плоскость , изобразим на отдельном рисунке. Для этого найдем точки пересечения параболы  с прямой . Опуская подробности вычислений, получим, что прямая и “положительная” ветвь параболы пересекаются в точке, в которой . Объем цилиндрического бруса может быть найден с помощью двойного интеграла. Учитывая, что тело “стоит” на плоскости  , для объема запишем формулу  и перейдем к повторному интегралу. Область (), изображенная на рисунке, очевидно не является - трапецией, но является  - трапецией:

(): .

 Записав объем через повторный интеграл и производя вычисления, последовательно получим

V=.

Ответ. Объем тела равен 80.


Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями