Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Элементы линейной алгебры Математический анализ Вычислить пределы Найдите производные функции Построить графики функций Изменить порядок интегрирования в интеграле Найти объем тела Найти массу тела

Математика примеры решения задач контрольной работы

ЗАДАНИЕ 8. Найти объем тела , ограниченного поверхностями

а) ;  б) ; в)  .

РЕШЕНИЕ.

 Изобразим тело, ограниченное двумя концентрическими сферами с центрами в начале координат и радиусами 8 и 12 и (“снизу”) конусом ; от полученного таким образом тела плоскостями  и  “отрезается” заданное условием задачи тело (V) (рис.77) .

Рис.77

  Объем тела может быть вычислен по формуле . Рассматривая тело в декартовой системе координат, видим, что оно не является ни -, ни -, ни -цилиндрическими брусами (см. рис.72); разбиение тела на  z- цилиндрические бруски является само по себе не простой задачей, не говоря уже о вычислении повторных интегралов. “Конструкция” тела  такова, что вычисление тройного интеграла удобнее провести в сферической системе координат r,, связанной с декартовой системой координат формулами:

.

Якобиан такого преобразования . Для объема получим:

.

Чтобы тройной интеграл записать в виде повторного, перейдем в уравнениях ограничивающих тело поверхностей к сферическим координатам. Следует использовать соотношения

.

Уравнение   переходит в , уравнение   в ; для уравнения конуса  получим последовательно: ,   и , откуда  и ; уравнение плоскости  переходит в уравнение , уравнение плоскости  в  , т.е. в . Таким образом,

.

  Так как подынтегральная функция представляет собой произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, а пределы интегрирования постоянны, то повторный интеграл представляет собой просто произведение трех интегралов

==;

.

Для объема тела получим

.

Ответ. .


Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями