|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ 18. С помощью дифференциала функции вычислить приближённо
при x = 7,76.
РЕШЕНИЕ.
Найдём дифференциал функции y(x) =
dx. Найдём рядом с точкой x=7,76 точку x0 , в которой значение
вычислялось бы точно. Для этой роли подойдёт точка x0=8. По определению дифференциала
y(x0+
x) = y(x0) + dy(x0)+o(
или в других обозначениях
y(x) = y(x0) + dy(x0)+o((xx0)),
Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений
y(x)
y(x0) + y¢(x0)( x x0).
В нашей задаче
+
(7,76 8)
2+
=1,98.
Ответ.
ЗАДАНИЯ 19-20. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
19)
; 20)
(ln2cos x·ln sin x3).
РЕШЕНИЯ.
19)
. Имеет место неопределённость (
). Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределённостей (0/0) или (¥¥). Поэтому сначала логарифмированием сведём заданную неопределённость к одной из указанных двух:
=
использована непрерывность функции экспонента: переставлены знаки функции и предела. Запишем выражение в скобках в виде дроби; получится неопределённость (0/0).
Напоминаем формулировку правила Лопиталя: если существует предел
конечный или бесконечный, то
а) существует и предел
;
б) эти два предела одинаковы естественно, функции f(x) и g(x) должны быть дифференцируемы в окрестности точки x0 всюду, кроме, возможно, самой точки x0 , точка x0 в понятии предела не рассматривается; производная функции g(x) не должна равняться нулю.
Применение правила Лопиталя производится в форме
Цепочка при необходимости может быть продолжена =
и так далее. И ещё одно замечание: правило Лопиталя верно и для односторонних пределов, и для пределов на бесконечности. Решаем свою задачу
=
=
.
Мы нашли предел в показателе экспоненты.
Ответ.
20)
). Для того, чтобы преобразовать её в (0/0) или
, перенесём один из множителей в знаменатель, записав его в степени 1. В нашем случае лучше перенести первый множитель:
(ln2cos x·ln sin x3) =
= (0/0) = =
.
На примере этой задачи хорошо видно, что, ориентируясь, в основном, на применение правила Лопиталя, не нужно забывать о других приёмах, облегчающих вычисление пределов; иначе нагромождение формул очень затруднит или сделает невозможным выяснение характера неопределённости. В нашем случае во всех множителях, не дающих в пределе 0 или ¥ у нас это множители cos x3 и 1/cos x , нужно перейти к пределу, а также заменить множители sin x и
sin x3 на эквивалентные им более простые множители x и x3. Получим
=
=
.
Делая попытку применить теорему о пределе частного, увидим, что неопределённость сохранилась, это снова (0/0). Применяем правило Лопиталя ещё раз:
=
Ответ.
(ln2cos x×ln sin x3) = 0.
| Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями |
