Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Элементы линейной алгебры Математический анализ Вычислить пределы Найдите производные функции Построить графики функций Изменить порядок интегрирования в интеграле Найти объем тела Найти массу тела

Математика примеры решения задач контрольной работы

ЗАДАНИЕ 23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: f(x)= ln2x, x0 =1.

РЕШЕНИЕ. Применяем формулу Тейлора см. задание 22.

f(1) = 1; f ¢( x) = 2(x1) 2 lnx ×, f ¢(1) = 0;

f ¢¢( x) = 2+ 4(x 1)2+(lnx1),  f ¢¢(1) = 0;

f ¢¢¢( x) = 12(x 1)+ 8(x 1)3 (lnx1) + , f ¢¢¢(1) = 6.

f(x)= 1 + ( x 1)3 +о((x1)3).

Укажем ещё один путь к получению той же формулы: путь, использующий стандартные формулы Маклорена для основных элементарных функций. Выполним замену переменной: x 1= t. Тогда функция f(x) = ln2x преобразуется в функцию g(t) = ln2(1+t), а значению x = 1 будет соответствовать значение t = 0. Нам понадобятся формулы 

= 1+ t + + o(t2) ; ln(1+t) = t + o(t2).

В первую из этих формул сделаем подстановку t2 вместо t, а вторую формулу возведём в квадрат:

= 1+ t2+ + o(t4), ln2(1+t) = (t + o(t2))( t + o(t2)) = t2 t3 + o(t3).

Отсюда g(t) = ln2(1+t) = 1+ t3 + o(t3) и f(x)= 1 + ( x 1)3 +о((x1)3).

Использовались свойства о-малых: любая o(t4) является также o(t3), а для любой o(t2) произведение t×o(t2)  является o(t3) и т. д.

Ответ. Функция ведёт себя в окрестности точки как кубическая, возрастает; её поведение схематически изображено на рис.35.

  Рис. 35

ЗАДАНИЕ 24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора:

.

РЕШЕНИЕ. Имеет место неопределённость (0/0). Выполним замену переменной x + 2 = t с целью использовать стандартные формулы Маклорена. Предел при этом преобразуется к виду: .

Нам понадобятся формулы

= 1+ t + + + o(t3) ; ln(1+t) = t + + o(t3).

Первая из этих формул нужна также с выполненной в ней подстановкой t вместо t, вторая – с подстановкой 2t вместо t:

= 1 t + + o(t3); ln(1+2t) = 2t + + + o(t3).

Формулы выписываем с остаточным членом o(t3); этого достаточно, так как в условии в знаменателе дроби стоит t3.

 =  =  = –2 =¥

áчислитель заменили его главной частьюñ.

Ответ. = ¥.

ЗАДАНИЕ 25. Найти асимптоты и построить эскизы графиков функций:

а) y=ln+2; б) y=;  в) y=.

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. Вспомним определение асимптоты при x® ¥: это прямая y=kx+b, для которой (f(x) (kx + b)) = 0. Числа k и b можно найти по формулам k =; b =(f(x) kx). Асимптота горизонтальна k=0 тогда и только тогда, когда существует конечный предел f(x), это и будет число b. Аналогично определяется асимптота при x®¥. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой, если f(x) является бесконечно большой при x® a, то есть если f(x) =¥, и односторонней вертикальной асимптотой, если f(x) =¥ или f(x) =¥.

РЕШЕНИЯ.

а) y=ln+2. Область определения функции: x¥,1)(3,+¥). Функция является элементарной составлена из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий и подстановок одной функции в другую. Отсюда следует, что функция непрерывна в каждой точке области определения.

Исследуем поведение функции при x®10  и при x®3+0 то есть в полуокрестностях граничных точек области определения:

ln+ 2 =  ln t + 2 = ¥

новая переменная t= положительна и стремится к 0 при x®10.

 ln+ 2=ln t + 2 = +¥.

В обоих случаях при стремлении x к конечному значению y является бесконечно большой, откуда следует, что прямые x=1 и x=3  односторонние вертикальные асимптоты.

Исследуем поведение функции при x®±¥:

ln+ 2 = ln+ 2 = ln 1 + 2 = 2;

предел при x® ¥ такой же. Следовательно, в обоих случаях прямая y=2 является горизонтальной асимптотой.

Ответ. Эскиз графика изображён на рис.36.

б) y=. Область определения функции: x¥,) (,)  (,+¥). Функция непрерывна в каждой точке области определения. При x®± по правилу вычисления предела дроби будем иметь: =¥, так как A 0. Отсюда следует, что прямые x= являются вертикальными асимптотами. Знак перед символом ¥ определяется знаком заданной дроби вблизи точек ±слева и справа. Метод интервалов применить не удаётся, так как корни числителя найти трудно. Поступим по - другому. Числитель в точке  x= равен 3+1 > 0 и сохраняет знак в некоторой окрестности точки, так как является непрерывной функцией. Знаменатель отрицателен слева от точки x= и положителен справа. Итак,

y(x) = ¥, y(x) = +¥.

Числитель в точке x = равен 3+1 < 0 и сохраняет знак в некоторой окрестности точки. Знаменатель положителен слева от точки x= и отрицателен справа. Итак,

y(x) = +¥, y(x) = ¥.

Перейдём к изучению поведения функции при x®¥. Разница в показателях степеней многочленов в числителе и в знаменателе равна 1, что говорит о наличии асимптот при x® +¥ и при x® ¥. В этой задаче найти асимптоты легче всего делением многочлена на многочлен, нахождением целой части. Выполнив деление, получим:  = x + 1 +.  Прямая y = x + 1 и будет асимптотой, что следует прямо из определения асимптоты:

(f(x) (x + 1)) == 0, причём это справедливо как при x® +¥, так и при x® ¥. Конечно, можно было найти асимптоту y=kx+b и с помощью вычислений:

k===1;

b=( x) ==1.

Ответ. Эскиз графика изображён на рис.37.

в) y=. Область определения функции: x , 2) (2, 2)  (2,+¥ ). Всюду в области определения функция непрерывна как элементарная заметим, что ½x½=,то есть элементарная функция. Заметим, что функция чётная и рассмотрим её при x >0, здесь знак модуля можно убрать, так как при x >0 ½x½= x. Так, при x >0

y== = (x+2 ) = x 2 + .

Найдена наклонная асимптота при x® +¥ : y = x 2.

Прямая x = 2 является вертикальной асимптотой. График функции симметричен относительно оси y; y(0) = 7.

Ответ. Эскиз графика изображён на рис.38.

 Рис.36 Рис.37 Рис.38


Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями