Элементы линейной алгебры Математический анализ Вычислить пределы Найдите производные функции Построить графики функций Изменить порядок интегрирования в интеграле Найти объем тела Найти массу тела

Математика примеры решения задач контрольной работы

Элементы линейной алгебры

Задача 5. Данную систему уравнений записать в матрич­ной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

Решение. Обозначим через А — матрицу коэффициен­тов при неизвестных; X — матрицу -столбец неизвестных Х1, X2, X3; Н — матрицу-столбец свободных членов:

A=, X=, H=.

С учетом этих обозначений данная система уравнений при­нимает следующую матричную форму:

  (1)

Если матрица A—невырожденная (ее определитель   отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу Умножив обе части уравнения (1) на , получим:

Но  =E(E— единичная матрица), а ЕХ=Х, поэто­му

Х= (2)

 Равенство (2) называется матричной записью реше­ния системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матри­цу .

Пусть имеем невырожденную матрицу

,

где—алгебраическое дополнение элемента в определителе матрицы A, которое является произведением на минор (определитель) второго по­рядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель и алгебраические дополнения
  элементов матрицы A.

— следовательно матрица A имеет обратную матрицу .

Тогда ,

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Х=

Отсюда

Вопросы для самопроверки

Что называется определителем второго, третьего, n-го порядков?

Назовите основные свойства определителей.

Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента определителя?

Напишите формулы Крамера решения системы линей­ных уравнений. В каких случаях их можно использовать?

Назовите схему решения системы линейных уравнений по методу Гаусса.

Что называется матрицей?

Как определяются основные действия над матрицами?

Какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице? Как найти матрицу, обратную данной?

Что называется рангом матрицы? Как найти ранг мат­рицы?

Сформулируйте теорему Кронекера- Капелли.

Опишите матричный способ решения системы линей­ных уравнений.

Какова геометрическая интерпретация систем линей­ных уравнений и неравенств?


Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями