Элементы линейной алгебры Математический анализ Вычислить пределы Найдите производные функции Построить графики функций Изменить порядок интегрирования в интеграле Найти объем тела Найти массу тела

Математика примеры решения задач контрольной работы

Введение в анализ

Задача 6. Вычислить пределы:

  б)

в) г)

Решение. а) Подстановка предельного значения аргумента х=-3 приводит к неопределенному выражению вида .

 Для устранения этой неопределенности разложим числи­тель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель(x+3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (x+3) отличен от нуля при :

б) При выражение  дает неопределенность вида Для ее устранения умножим и разделим
это выражение на  

=

=

в) Обозначим arctg 5х=у. Тогда 5х=tg у и  при Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела

г) При выражение   является неопределенностью вида 1  . Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при  величины и применим формулу второго замечательного предела:

Тогда имеем:

 

Пусть 2х+1=-4y. Тогда 4x+5=-8y+3 и  при Переходя к переменной у, получим:

Задача 7. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Данная функция является элементарной. Известно, что всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения. Данная функция определена на

РИСУНОК № 4.

интервалах (—; 1) и (1;) и, следовательно, она непре­рывна на этих интервалах. В точке x=1 функция имеет раз­рыв второго рода, поскольку в этой точке отсутствуют конеч­ные односторонние пределы. График функции дан на рис. 4.

Вопросы для самопроверки

Сформулируйте определение понятия функции.

Что называется областью определения функции? об­ластью изменения функции?

Перечислите основные элементарные функции. Назо­вите их основные свойства.

Какие функции называются элементарными? Приве­дите примеры.

Что называется пределом числовой последователь­ности?

Сформулируйте определение предела функции.

Назовите основные свойства пределов функций.

Какая функция называется бесконечно малой? бесконечно большой?

Назовите свойства бесконечно малых функций.

Напишите формулы первого и второго замечательных пределов.

Какие логарифмы называются натуральными?

Дайте определения односторонних пределов функция в точке.

Какая функция называется непрерывной в точке? на интервале?

Какая точка называется точкой разрыва первого рода? второго рода?

Перечислите основные свойства непрерывных на отрезке функций.


Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями