Элементы линейной алгебры Математический анализ Вычислить пределы Найдите производные функции Построить графики функций Изменить порядок интегрирования в интеграле Найти объем тела Найти массу тела

Математика примеры решения задач контрольной работы

Приложения производной

Задача 9. Исследовать функцию  и построить ее график. 

Решение. Исследование функции проведем по следую­щей схеме:

Найдем область определения функции.

Исследуем функцию на непрерывность.

Установим, является ли данная функции четной, нечетной.

Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.

Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и
точки ее перегиба.

Найдем асимптоты кривой.

Реализуем указанную схему:

Функция определена при всех значениях аргумента x, кроме x=1.

Данная функция является элементарной, поэтому она
непрерывна на своей области определения, т. е. на интервалах ; 1) и (1; ). В точке х=1 функция терпит разрыв второго рода.

Для установления четности или нечетности функции
проверим выполнимость равенств (тогда
четная функция) или (для нечетной функции)
для любых х и —х из области определения функции:

Следовательно, то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.

Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

у' = 0 при х=0 и y´— не существует при x=1. Тем самым имеем две критические точки: x1 = 0, х2 =1. Но точка х2 =1 не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.

 Разобьем числовую ось на три интервала (рис.5):

 В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале— положительна н данная функция возрастает. При переходе через точку x = 0 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум:. Значит, A(0; —1) — точка мини­мума

Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:

у"=0 при x =  и у" — не существует при х=1. Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 6); ; 1), (1;. На первом интервале вторая производная у" отрицательна и дуга исследуемой кривой выпуклая; на вто­ром и третьем интервалах у">0, тем самым график является вогнутым. При переходе через точку

у" меняет свой знак, поэтому абсцисса точки перегиба.

Следовательно, В— точка перегиба графика функции.

6. х =1—точка разрыва функции, причем

Поэтому прямая х =1 является вертикальной асимптотой -графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты у = kх+b воспользуемся формулами:

Тогда

  При вычислений последнего предела использовалось правило Лопиталя.


Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями