Элементы линейной алгебры Математический анализ Вычислить пределы Найдите производные функции Построить графики функций Изменить порядок интегрирования в интеграле Найти объем тела Найти массу тела

Математика примеры решения задач контрольной работы

Задача 10. Резервуар, имеющий форму открытого сверху прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, нужно вылудить внутри оловом. Каковы должны быть размеры ре­зервуара при его емкости 108 л воды, чтобы затраты на его лужение были наименьшими?

Решение. Затраты на покрытие резервуара оловом бу­дут наименьшими, если при данной вместимости его поверх­ность будет минимальной.

Обозначим через— сторону основания,— высоту резервуара. Тогда площадь   его поверхности равна а2+ 4аb, а объем. Отсюда

 Полученное соотношение устанавливает зависимость меж­ду площадью поверхности резервуара S (функция) и сторо­ной основания a(аргумент). Исследуем функцию S на экстремум. Найдем первую производную S', приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение:

Отсюда . S'(а)>0 при,  при. Следо­вательно, при функция S имеет минимум. Если, то  Таким образом, затраты на лужение резервуара ем­костью 108 л будут наименьшими, если он имеет размеры

Вопросы для самопроверки

Сформулируйте теоремы Ролля, Лагранжа. Каков их
геометрический смысл?

Какая функция называется возрастающей? убываю­щей?

Сформулируйте необходимый, достаточный признаки возрастания убывания функции.

Какие точки называются стационарными? критически­ми?

Назовите достаточные признаки экстремума функции.

Какая кривая называется выпуклой? вогнутой?

Как найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой?

Сформулируйте достаточный признак существования точки перегиба кривой.

Что называется асимптотой кривой? Как найти верти­кальные и наклонные асимптоты?

 Назовите схему исследования функции и построения ее графика.

 В каком случае применяется правило Лопиталя при
вычислении пределов?


Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями