Математика курс лекций

[an error occurred while processing this directive]

Электротехника
ТОЭ типовые задания примеры
решения задач
Радиотехнические схемы Генераторы
Лабораторные работы
Контрольная работа
Конспект лекций
Электротехника, электроника
Линейные цепи постоянного тока
Переменный ток. Приборы и оборудование
Комплексный метод расчета
цепей синусоидального тока
Электрические цепи с
взаимной индуктивностью
Расчет неразветвленных
магнитных цепей
Электромагнитные устройства
Трансформаторы
Однофазный асинхронный двигатель
Электронно-оптические приборы
Электронные усилители и генераторы
Источники питания электронных устройств
Измерение тока и напряжения
Работа электрической машины
постоянного тока в режиме генератора
История искусства
Стили в архитектуре и дизайне
Стиль АРТДЕКО
Париж оставался центром стиля арт-деко
Развитие традиционной архитектуры
Восточного Китая
ТВОРЧЕСТВО ЛЕ КОРБЮЗЬЕ
ТВОРЧЕСТВО  ВАЛЬТЕРА ГРОПИУСА
Людвиг Мис ван дер Роэ
ЭКОЛОГИЧЕСКИЙ ДОМ
Здание Калифорнийской Академии наук
История дизайна
Дизайн в моде
Литература о дизайне
Линия борьбы с академизмом
в искусстве и эстетике
Объяснение промышленного искусства
Дизайнерское проектирование
для промышленности
ТОМАС МАЛЬДОНАДО
Джордж Нельсон
ДИЗАЙН В ДЕЙСТВИИ
фирма «Вестингауз»
„ОЛИВЕТТИ" Фабрика пишущих машин
Активное развитие дизайна «Оливетти»
НОН-ДИЗАЙН
ДИЗАЙН В ДЕЙСТВИИ
авторские концепции дизайна
ДИЗАЙН И ИСКУССТВО
Европейский «артистический» дизайн
Первичность деятельности художника
Современный элитарный дизайн
Художественное проектирование
Индустриальный дизайн
Стиль в дизайне. Понятие "фирменный стиль"
Абстракционизм
ПЕРВЫЕ ШКОЛЫ ДИЗАЙНА Баухауз
ДИЗАЙН В ПРЕДВОЕННУЮ ЭПОХУ
ПОСЛЕВОЕННЫЙ ДИЗАЙН
ДИЗАЙН 60-х
АЛЬТЕРНАТИВНЫЙ ДИЗАЙН
Государственный дизайн
ДИЗАЙН-ТЕХНОЛОГИИ БУДУЩЕГО
Прикладное искусство Византии IV–VII века
Поверхности
Начертательная геометрия
Задачи по математике
Математика Методические указания
к выполнению контрольных работ
Решение линейных дифференциальных уравнений и систем
операционным методом
Область сходимости степенного ряда
Математический анализ
Пример решения типового задания
Найти значение производной функции
Линейная алгебра
Задачи по физике
Оптика
Электростатика
Энергетика
Системы теплоснабжения
Региональный опыт энергосбережения
Тепловые насосы
Проектирование аккумуляторов теплоты
Малая гидроэнергетика
Ветроэнергетика в России
Гелиоэнергетика
Активные гелиосистемы отопления зданий
Гидротермальные системы
Закрытые системы геотермального
теплоснабжения
Мини-теплоэлектростанция на отходах
Энергия морских течений
Водородная экономика
Основы технической механики
Сопротивление материалов
Контрольная работа
Шарнирное соединение деталей
Вычисления моментов инерции
однородных тел
 

Методические указания к выполнению контрольных работ

Контрольная работа №5

Если поверхность  задана уравнением , то уравнение касательной плоскости к поверхности   в точке , имеет вид

,

где   – частные производные

функции   по переменным , вычисленные в точке касания . При вычислении частной производной, например, по переменной , остальные переменные ( и ) считаются фиксированными (постоянными).

Нормалью к поверхности S в точке M0 называется прямая, проходящая через точку M0 и перпендикулярная касательной плоскости к поверхности S в точке M0 .

Из определения нормали следует, что нормальный вектор = (A;B;C) касательной плоскости будет направляющим вектором нормали. Следовательно, канонические уравнения нормали к поверхности S в точке M0 будут иметь вид

  .

Пример. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке .

Решение. Запишем уравнение поверхности в виде . Тогда . Вычисляем частные производные от этой функции в точке :

;

.

Искомое уравнение касательной плоскости запишется в виде  или .

Нормаль перпендикулярна касательной плоскости. Следовательно, нормальный вектор =(−5;3;−1) касательной плоскости будет направляющим вектором нормали. Канонические уравнения нормали будут иметь вид

  .

Ответ:  – уравнение касательной плоскости,

  – уравнения нормали.

К задачам 231 – 240.

Для нахождения экстремумов функции z =f (x,y) сначала нужно найти стационарные точки этой функции, в которых частные производные функции z =f (x,y) равны нулю. Для этого нужно решить систему уравнений:

 (1)

Условие (1) является необходимым условием экстремума, но оно не является достаточным, т.е. в стационарной точке экстремума может и не быть.

Рассмотрим достаточное условие экстремума. Пусть точка M0 – стационарная точка функции z=f (x,y), которая имеет непрерывные частные производные второго порядка на некоторой окрестности точки M0,

 и

  – определитель второго порядка.

Если D>0, то экстремум в точке M0 есть, при этом M0 – точка минимума при A>0 и M0 – точка максимума при A<0. Если D<0, то экстремума в точке M0 нет.

При D=0 требуются дополнительные исследования функции в окрестности точки M0, мы не будем рассматривать этот случай.

Пример. Найти экстремумы функции z = x3 + y3 – 6xy.

Решение. Найдем стационарные точки данной функции. Для этого находим частные производные функции z = x3 + y3 – 6xy, приравниваем их к нулю и решаем полученную систему уравнений.

.

Получили две стационарные точки: М1(0; 0), М2(2; 2). Выясним, есть ли в этих точках экстремумы. Находим частные производные второго порядка.

.

1) Вычислим значения частных производных второго порядка в точке М1:

.

Находим определитель :

.

Поскольку D < 0, то экстремума в точке М1 нет.

2) Вычислим значения частных производных второго порядка в точке М2.

.

Определитель .

Поскольку D > 0 и А > 0, то М2 – точка минимума.

zmin = z(2, 2) = 8 + 8 – 24 = − 8 .

Ответ: zmin = z(2, 2) = − 8 .

 

 

 

Градиентом функции   в некоторой точке  называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным данной функции:

.

Пусть из данной точки  проведен луч , параллельный некоторому вектору . Производной функции  по направлению этого луча называется скорость изменения функции в заданном направлении, то есть

.

Если луч  образует с осями  и  углы  и  соответственно, то  и  являются координатами единичного вектора , параллельного , и производную по направлению можно вычислить по формуле

.

При этом, если направление определяется вектором , то  и значит

.

Линия уровня функции z = f(x, y) – это линия, определяемая уравнением f(x, y) = С, где СÎR.

 

 

Пример.  Дана функция  и две точки  и . Найти градиент функции  в точке  и производную в точке  в направлении вектора .

Решение. Вычислим частные производные в точке  :

;

.

Значит,  .

Найдем направляющие косинусы:

;

.

Вычисляем по формуле производную в заданном направлении:

.

Ответ: .

 

 

 

Операционное исчисление (преобразование Лапласа)

В операционном исчислении функции  действительной переменной  ставится в соответствие функция   комплексной переменной .

Функция   называется оригиналом,  – изображением, что обоз-начают

  или .

Соответствие, определяемое формулой

,

называется преобразованием Лапласа.

Рассмотрим некоторые свойства преобразования Лапласа.

1) Линейность:

,

.

Постоянный множитель  сохраняется при нахождении изображения.

Изображение суммы равно сумме изображений.

2) Теорема смещения:

.

При умножении оригинала на показательную функцию  в изображении надо из аргумента   вычесть число .

3) Дифференцирование изображения:

.

При умножении оригинала f ( t ) на  надо изображение  продиффе-ренцировать и производную умножить на (-1).

4) Изображение производных:

,

,

.

Таблица изображений

 ,

 ,

 ,

 ,

 ,

 ,

 ,

 ,

 .

Здесь  , гиперболические функции

.

 

 

Примеры.

1.  Найти изображение данного оригинала.

1) .

Использовали свойство линейности и формулы

.

2)  .

3) ,  так как .

По теореме смещения в изображении функции  из аргумента  вычли , в изображении  из  вычли .

4) ,  так как .

По свойству дифференцирования изображения оригинал  умножили на , а от изображения  нашли производную и умножили на – 1.

2.  Найти оригинал по заданному изображению.

1) .

Использованы формулы :

.

2)  .

Если в изображении  из  вычесть , то по теореме смещения оригинал  надо умножить на :

.

3) .

4)  .

5) .

6)  .

Чтобы найти оригинал, соответствующий правильной рациональной дроби, надо представить ее в виде суммы простейших дробей, разложив знаменатель на множители.

7) .

Линейному множителю  знаменателя соответствует простейшая дробь первого рода  .

Находим числа . Для этого складываем дроби в правой части и приравниваем числители.

.

Придаем значения  , обращающие одну из скобок в нуль:

.

8)  .

Квадратному трехчлену с комплексными корнями знаменателя соответствует простейшая дробь 2-го рода, у которой числитель есть линейная функция с неизвестными коэффициентами.

.

Для нахождения  приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях р в левой части и в правой. При , при , при , при . Получим систему уравнений, решая которую, находим коэффициенты .

 

Подставляя найденные коэффициенты и используя таблицу изображений, находим оригинал для данного изображения:

.

9)  .

Множителю  соответствуют две простейшие дроби первого рода со знаменателями   и .

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях р. При , при , при , при . Решая полученную систему, находим, что , , , . Используя таблицу изображений, получим, что

Предел последовательности Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое вещественное число то говорят, что задана числовая последовательность Свойства сходящихся последовательностей

Числовую последовательность { a n }, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d , называют арифметической прогрессией .

Числовую последовательность { b n }, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q  ≠ 0, называют геометрической прогрессией

Декартова система координат Системой координат называется совокупность одной, двух, трех или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат . В конкретной невырожденной координатной системе каждой точке соответствует один и только один набор координат. Координаты точки в декартовой системе координат.

Полярная и сферическая системы координат Полярные координаты легко преобразовать в декартовы

Понятие числовой функции Среди всего многообразия явлений природы существуют такие, в которых взаимосвязь величин настолько тесна, что, зная значение одной из них, можно определить и значение другой. Пусть функции y  =  g  ( x ) и z  =  f  ( y ) определены на множествах D и E соответственно, причем множество значений функции f содержится в области определения функции g . Для того, чтобы кривая на декартовой координатной плоскости была графиком функции, необходимо и достаточно, чтобы всякая прямая, параллельная оси ординат, либо не пересекалась с этой линией, либо пересекала ее в одной точке. Согласно этому определению окружность, например, не может быть графиком никакой функции, так как некоторым значениям x точек, принадлежащих этой кривой (например, абсциссе центра окружности), соответствуют два значения y . Диффенцирование неявно заданной функции Математика примеры решения задач контрольной, курсовой, типовой работы

Четность функций

Ранг матрицы

 

Нули функции Рассмотрим вопрос о нахождении нулей функции и промежутков, где функция сохраняет знак. Периодические функции

Монотонность функций Функция f  ( x ) называется возрастающей на промежутке D , если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1 < x 2, выполняется неравенство f ( x 1 ) < f ( x 2 ). Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D ).

  • Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.
  • Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция. Математика примеры решения задач Лекции
  • Если функция f возрастает, то функции cf ( c  > 0) и f  +  c также возрастают, а функция cf  ( c  < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.
  • Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/ f убывает.
  • Если функция f возрастает и неотрицательна, то где , также возрастает.
  • Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f   n также возрастает.
  • Композиция g  ( f  ( x )) возрастающих функций f и g также возрастает.

    Точка наибольшего или наименьшего значения может быть экстремумом функции, но не обязательно им является. Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка.

    Преобразование графиков функций

    Параллельный перенос Пусть имеется график функции y  =  f  ( x ). Зададимся целью построить график функции y  =  f 1  ( x ), где f 1  ( x ) =  f  ( x ) +  B . Ясно, что области определения этих функций совпадают. Пусть A  ( x 0 ;  y 0 ) – точка на графике функции y  =  f  ( x ). Соответствующая ей точка A ′ ( x 0 ;  y 1 ) с той же абсциссой имеет координаты A ′ ( x 0 ;  y 0  +  B ).

    Сжатие (растяжение) графика к оси OX задается с помощью системы уравнений

    Отражение относительно осей и точек Пусть имеется график функции y  =  f  ( x ). Чтобы получить график функции, симметричный данному относительно оси OX , нужно умножить значение функции в каждой точке области определения на –1. Алгебраически это задается системой:

    Построение графика суммы (произведения) двух функций производится сложением (умножением) ординат точек графиков с одинаковыми абсциссами. Приведем для примера графики функций y  =  x  + sin  x и y  =  x  sin  x , являющихся соответственно суммой и произведением графиков y  =  x и y  = sin  x .

[an error occurred while processing this directive]