Пример решения типового задания Найти значение производной функции Линейная алгебра Исследовать функцию Предел последовательности Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение типового варианта контрольной работы

Пример 14. Доказать, что

 Решение. Покажем, что при любом  

Действительно, это неравенство равносильно неравенствам

     

  

Последнее неравенство верно, поскольку последовательность

убывает(см. пример ) и её предел равен  Тогда

Поскольку  то  и

 

Пример 15. Для нахождения   применяется следующий процесс:  произвольно,

   (8)

Доказать, что

 Решение. Из известного неравенства , связывающего среднее арифметическое и среднее геометрическое двух неотрицательных чисел, получаем, что для любого   Теперь убедимся в том, что последовательность  не возрастает. Действительно, неравенство  то есть , равносильно . В справедливости последнего неравенства мы убедились выше. По теореме Вейерштрасса последовательность  имеет предел , который находим, переходя в (8) к пределу: 

Пример 16. Последовательность  определяется следующим образом:

  Найти .

Решение. Оценим разность между  и числом , являющимся корнем уравнения . Применяя полученное неравенство к разности  и т.д., получим .

Поскольку , то  и .

 Предел функции

Пусть Е- некоторое непустое подмножество множества R действительных чисел,   – предельная точка множества Е, - функция, определённая на Е.

 Определение. Число  называется пределом функции  в точке , если 

 d>0  d Þ e). (9)

Предел функции в точке  обозначается символом . Во всех рассматриваемых далее примерах функция определена в некоторой проколотой окрестности точки , поэтому мы будем использовать символ . Определение предела в случае  аналогично приведённому ( его можно найти в учебнике или конспекте лекций).

Определение. Функция  есть бесконечно малая при , если

Функции   и называются эквивалентными (f ~ g) при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение , где .

Определение. Функция  есть бесконечно малая относительно  при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение , где   При этом пишут Если при этом g- бесконечно малая, то говорят, что f есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с g.

Справедливы следующие предложения.

(f(х) ~ g(х)) при .

(f(х) ~ g(х)) при

Последнее правило не распространяется на суммы и разности функций, кроме отдельных случаев, например

3. Если f(х) ~ах  и g(х) ~bх и  , то (f(х) - g(х)) ~(а- b)х.

При вычислении пределов функций полезно использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых величин при  :

1. sinx~x , ,

2. arcsinx~x, arcsinx =x+o(x),

3. tgx~x , tgx=x+o(x),

4. arctgx ~x, arctgx=x+o(x),

5.   ~x , ,

6.   ~xlna, ,

7.   ~x , ,

8. ~,

9. ~,

10. 1-cosx~, .

Пример 17. Доказать (найти d(e)), что .

 Решение. Заметив, что квадратный трёхчлен  имеет корни  и , упростим исходное выражение:

.

Тогда соответствующая часть формулы (9) из определения предела функции принимает вид e. Это неравенство будет выполняться, если . Следовательно, можно взять .


Найти частные производные второго порядка функции [an error occurred while processing this directive]