Пример решения типового задания Вычислить тройной интеграл Переход к полярным координатам в двойном интеграле Тройной интеграл в декартовых координатах Замена переменных в тройном интеграле Найти частные производные функции

Решение типового варианта контрольной работы

Кратные интегралы Двойной интеграл

Пример. Переход к полярным координатам.

Пусть требуется посчитать  по области , которая задается в полярных координатах условиями .

Сделаем замену переменных .

Math Analysis 4 Picture 19

Math Analysis 4 Picture 20

При этой замене нарушается взаимная однозначность отображения. Точке   соответствует целый отрезок  на оси . Однако точка имеет нулевую площадь и теорема справедлива. Осталось вычислить . , . .

Следовательно, .

Полярные координаты бывают очень полезны при вычислениях. Рассмотрим пример. Найти .

Решение.  - это несобственный интеграл, и прежде всего следует установить его сходимость. По определению, . Первый из интегралов – собственный, второй – сходится по 1-й теореме о сравнении, т.к. при  справедливы неравенства , а , очевидно, сходится.

Обозначим  (очевидно, ). Тогда, поскольку обозначение переменной интегрирования можно выбрать произвольным, , где  - квадрат, а  -

Math Analysis 4 Picture 21

четверти круга, соответственно, радиусов . Т.к. , то по свойствам 2 и 3 двойного интеграла . В интеграле  п перейдем к полярным координатам:

. Аналогично,   и . При стремлении  получаем, что , т.е. .

Пример 2. Переход к сферическим координатам осуществляется функциями .

Math Analysis 4 Picture 23

Якобиан преобразования равен  (разложение по 3-й строке)   (выделим общие множители у столбцов)  .

Криволинейные интегралы первого типа

типа.

Задача. Найти , где  - граница тела .

Решение. Это тело представляет собой конус:

Math Analysis 4 Picture 36

  состоит из боковой поверхности   и основания . На боковой поверхности, уравнение которой  всюду, кроме точки   и   и .

Нарушение этой формулы в единственной точке  не повлияет на результат, поэтому , где  - проекция  на плоскость , т.е.  - круг .

В интеграле, стоящем в правой части, перейдем к полярным координатам:  ( - якобиан преобразования) .

Основание  задано уравнением , поэтому   и  (этот интеграл отличается от вычисленного выше лишь множителем, поэтому подробное вычисление опущено).

Итак, весь интеграл .

Поверхностные интегралы 2-го типа

Пример. Приведем пример вычисления поверхностного интеграла 2-го типа , где  - внешняя сторона сферы . Обозначим . Из соображений симметрии очевидны равенства , так что . Поверхность  состоит из частей  и , задаваемых уравнениями  (это  - верхняя полусфера) и  (это уравнение для нижней полусферы ). На  внешняя нормаль составляет с осью  острый угол, на  - тупой.

Math Analysis 4 Picture 46

Поэтому  . Аналогично, т.к. на  , а нормаль составляет с осью  тупой угол, . Значит, . Поэтому .

Пример. Найдем , где  - модуль радиус-вектора .

  и .

По формуле 5 из этого равенства следует:

Мы получили формулу для вычисления гдариента радиальной функции .

Рассмотрим теперь поверхность уровня скалярного поля , т.е. поверхность, задаваемую уравнением . Предположим, что   - непрерывно дифференцируемая функция от . Тогда уравнение касательной плоскости в точке , лежащей на этой поверхности, имеет вид .

Координаты вектора градиента представляют собой коэффициенты этого уравнения. Поэтому   - нормаль к касательной плоскости в т.  и, по определению, нормаль к самой поверхности уровня в этой точке.


Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) [an error occurred while processing this directive]