Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Пример решения типового задания Вычислить тройной интеграл Переход к полярным координатам в двойном интеграле Тройной интеграл в декартовых координатах Замена переменных в тройном интеграле Найти частные производные функции

Решение типового варианта контрольной работы

Кратные интегралы Двойной интеграл

Пример. Переход к полярным координатам.

Пусть требуется посчитать  по области , которая задается в полярных координатах условиями .

Сделаем замену переменных .

Math Analysis 4 Picture 19

Math Analysis 4 Picture 20

При этой замене нарушается взаимная однозначность отображения. Точке   соответствует целый отрезок  на оси . Однако точка имеет нулевую площадь и теорема справедлива. Осталось вычислить . , . .

Следовательно, .

Полярные координаты бывают очень полезны при вычислениях. Рассмотрим пример. Найти .

Решение.  - это несобственный интеграл, и прежде всего следует установить его сходимость. По определению, . Первый из интегралов – собственный, второй – сходится по 1-й теореме о сравнении, т.к. при  справедливы неравенства , а , очевидно, сходится.

Обозначим  (очевидно, ). Тогда, поскольку обозначение переменной интегрирования можно выбрать произвольным, , где  - квадрат, а  -

Math Analysis 4 Picture 21

четверти круга, соответственно, радиусов . Т.к. , то по свойствам 2 и 3 двойного интеграла . В интеграле  п перейдем к полярным координатам:

. Аналогично,   и . При стремлении  получаем, что , т.е. .

Пример 2. Переход к сферическим координатам осуществляется функциями .

Math Analysis 4 Picture 23

Якобиан преобразования равен  (разложение по 3-й строке)   (выделим общие множители у столбцов)  .

Криволинейные интегралы первого типа

типа.

Задача. Найти , где  - граница тела .

Решение. Это тело представляет собой конус:

Math Analysis 4 Picture 36

  состоит из боковой поверхности   и основания . На боковой поверхности, уравнение которой  всюду, кроме точки   и   и .

Нарушение этой формулы в единственной точке  не повлияет на результат, поэтому , где  - проекция  на плоскость , т.е.  - круг .

В интеграле, стоящем в правой части, перейдем к полярным координатам:  ( - якобиан преобразования) .

Основание  задано уравнением , поэтому   и  (этот интеграл отличается от вычисленного выше лишь множителем, поэтому подробное вычисление опущено).

Итак, весь интеграл .

Поверхностные интегралы 2-го типа

Пример. Приведем пример вычисления поверхностного интеграла 2-го типа , где  - внешняя сторона сферы . Обозначим . Из соображений симметрии очевидны равенства , так что . Поверхность  состоит из частей  и , задаваемых уравнениями  (это  - верхняя полусфера) и  (это уравнение для нижней полусферы ). На  внешняя нормаль составляет с осью  острый угол, на  - тупой.

Math Analysis 4 Picture 46

Поэтому  . Аналогично, т.к. на  , а нормаль составляет с осью  тупой угол, . Значит, . Поэтому .

Пример. Найдем , где  - модуль радиус-вектора .

  и .

По формуле 5 из этого равенства следует:

Мы получили формулу для вычисления гдариента радиальной функции .

Рассмотрим теперь поверхность уровня скалярного поля , т.е. поверхность, задаваемую уравнением . Предположим, что   - непрерывно дифференцируемая функция от . Тогда уравнение касательной плоскости в точке , лежащей на этой поверхности, имеет вид .

Координаты вектора градиента представляют собой коэффициенты этого уравнения. Поэтому   - нормаль к касательной плоскости в т.  и, по определению, нормаль к самой поверхности уровня в этой точке.


Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода) [an error occurred while processing this directive]