Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Пример решения типового задания Найти значение производной функции Линейная алгебра Исследовать функцию Предел последовательности Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение типового варианта контрольной работы

Пример 29. Вычислить предел функции

Решение. Сделаем подстановку :

  (10)

Преобразуем выражение 

 

Подставляем полученное выражение в (10):

Пример 30. Вычислить предел функции 

Решение.

Мы воспользовались свойствами логарифма и тем, что  есть бесконечно большая, а  и -бесконечно малые при  

Пример 31. Найти предел 

Решение. Понизим степень в исходном выражении и вынесем n из-под корня:  Теперь используем табличное представление , где  при , формулу приведения и то, что  (непрерывность косинуса):

Пример 32. Вычислить предел функции

 

Решение. Величина  является ограниченной, а x - бесконечно малой при . Поэтому их произведение есть бесконечно малая. Далее,  поэтому . Отсюда  

Пример 33. Вычислить предел функции

Решение. Воспользуемся тем, что если  , то  В нашем случае  Тогда 

Задачи, связанные с применением второго замечательного предела

Второй замечательный предел

  (11)

применяется ( как и в случае последовательностей) при вычислении пределов , где   т.е. в случае неопределённости вида

Следующие три примера решим различными способами.

Пример 34. Вычислить предел функции

 Решение. Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида  Выделяем в исходном выражении формулу  и вычисляем предел.

Предел выражения можно находить, предварительно вычислив предел его логарифма.

Пример 35. Вычислить предел функции

Решение. Преобразуем логарифм исходного выражения, применив формулу Отсюда  Теперь находим искомый предел:  

Для вычисления предела , где  т.е. в случае неопределённости вида , можно использовать правило:

  . (12)

Пример 36. Вычислить предел функции

Решение. Находим

Далее,   и в силу (12) получаем 

Пример 37. Последовательность функций  определяется следующим образом:  Найти 

Решение. Легко заметить и доказать по индукции, что Оценим разность между  и числом являющимся корнем уравнения  . Последнее неравенство следует из того, чтоиПрименяя полученное неравенство к разности  и т.д., получим  то есть. Отсюда видно, что

 Непрерывность функции

Определение. Функция , заданная на множестве ЕR, называется непрерывной в точке аЕ, если 

  (13)

Отсюда следует, что в изолированной точке множества Е функция непрерывна (см. пример 41); если же а - предельная для множества Е, то (13) означает, что  


Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Найти частные производные второго порядка функции [an error occurred while processing this directive]