Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Пример решения типового задания Найти значение производной функции Линейная алгебра Исследовать функцию Предел последовательности Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение типового варианта контрольной работы

Пример 29. Вычислить предел функции

Решение. Сделаем подстановку :

  (10)

Преобразуем выражение 

 

Подставляем полученное выражение в (10):

Пример 30. Вычислить предел функции 

Решение.

Мы воспользовались свойствами логарифма и тем, что  есть бесконечно большая, а  и -бесконечно малые при  

Пример 31. Найти предел 

Решение. Понизим степень в исходном выражении и вынесем n из-под корня:  Теперь используем табличное представление , где  при , формулу приведения и то, что  (непрерывность косинуса):

Пример 32. Вычислить предел функции

 

Решение. Величина  является ограниченной, а x - бесконечно малой при . Поэтому их произведение есть бесконечно малая. Далее,  поэтому . Отсюда  

Пример 33. Вычислить предел функции

Решение. Воспользуемся тем, что если  , то  В нашем случае  Тогда 

Задачи, связанные с применением второго замечательного предела

Второй замечательный предел

  (11)

применяется ( как и в случае последовательностей) при вычислении пределов , где   т.е. в случае неопределённости вида

Следующие три примера решим различными способами.

Пример 34. Вычислить предел функции

 Решение. Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида  Выделяем в исходном выражении формулу  и вычисляем предел.

Предел выражения можно находить, предварительно вычислив предел его логарифма.

Пример 35. Вычислить предел функции

Решение. Преобразуем логарифм исходного выражения, применив формулу Отсюда  Теперь находим искомый предел:  

Для вычисления предела , где  т.е. в случае неопределённости вида , можно использовать правило:

  . (12)

Пример 36. Вычислить предел функции

Решение. Находим

Далее,   и в силу (12) получаем 

Пример 37. Последовательность функций  определяется следующим образом:  Найти 

Решение. Легко заметить и доказать по индукции, что Оценим разность между  и числом являющимся корнем уравнения  . Последнее неравенство следует из того, чтоиПрименяя полученное неравенство к разности  и т.д., получим  то есть. Отсюда видно, что

 Непрерывность функции

Определение. Функция , заданная на множестве ЕR, называется непрерывной в точке аЕ, если 

  (13)

Отсюда следует, что в изолированной точке множества Е функция непрерывна (см. пример 41); если же а - предельная для множества Е, то (13) означает, что  


Найти частные производные второго порядка функции [an error occurred while processing this directive]