Летающий спутник

Летающий спутник

Заработок для студента

Заработок для студента

 Заказать диплом

Заказать диплом

 Cкачать контрольную

Cкачать контрольную

 Курсовые работы

Курсовые работы

Репетиторы онлайн по любым предметам

Репетиторы онлайн по любым предметам

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Выполнение дипломных, курсовых, контрольных работ

Магазин студенческих работ

Магазин студенческих работ

Диссертации на заказ

Диссертации на заказ

Заказать курсовую работу или скачать?

Заказать курсовую работу или скачать?

Эссе на заказ

Эссе на заказ

Банк рефератов и курсовых

Банк рефератов и курсовых

Пример решения типового задания Найти значение производной функции Линейная алгебра Исследовать функцию Предел последовательности Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение типового варианта контрольной работы

Пример 38. Доказать, что функция  непрерывна в точке а=2(найти ).

Решение. 1-й способ. Поскольку  определена при всех значениях R, то Е= R и (13) принимает вид:

Переходим к неравенству для значений функции:

  (14)

Пусть выполнено неравенство  то есть  Тогда  Если теперь потребовать, чтобы выполнялось неравенство   , то неравенство (14) также будет выполнено:  Итак, для выполнения последнего неравенства потребовалось, чтобы  и . Поэтому

2-й способ. Неравенство  для значений функции выполнено, если выполнено неравенство

 

 Последнее неравенство, (квадратное относительно ) выполнено, если  Таким образом,

  Рис.1

3-й способ. Найдём  по  графически (см. рис. 1) и получим такой же результат, как для второго способа (в этом легко убедиться самостоятельно).

Пример 39. С помощью «» рассуждений доказать непрерывность следующих функций: 1) :2).

Решение. 1). Пусть  Тогда  если . Кроме того, должно выполняться условие ,откуда и  При а=0  если  ( в качестве окрестности нуля в множестве Е=D(f)   берётся  ).

2). Покажем, что для любых х и а

  (15)

Из определения арктангенса и с помощью замены переменной получаем, что это неравенство равносильно неравенству

  где  (16)

Если х и а одного знака, то

Мы воспользовались известным неравенством  Из него же следует справедливость (16) для х и а разного знака. Из неравенства (15)следует, что в качестве искомого  можно взять : если , то получаем, что 

Пусть функция  определена в точках некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а.

Определение. Точка а называется точкой разрыва функции , если она не определена в точке а или  определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.

Если а – точка разрыва и существуют конечные пределы  и, то а называется точкой разрыва первого рода. Если при этом , то а называется точкой устранимого разрыва.

Точки разрыва функции , не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода. Если при этом  или , то а называется точкой бесконечного разрыва.

Если в некоторой полуокрестности слева или справа от а  не определена, то для определения характера разрыва рассматривают только  или .

Пример 40. Найти точки разрыва функции

и исследовать их характер.

Решение. В точках  функция непрерывна, поскольку является произведением или частным непрерывных функций. В точке  оба односторонних предела существуют и не равны:  . Следовательно,  - точка разрыва первого рода. В точке х=1 , следовательно,  - точка разрыва второго рода

( точка бесконечного разрыва).

Пример 41. Определить точки разрыва функции и исследовать их характер.

Решение. Находим область определения  функции:  Отсюда  или . На  функция непрерывна: на множестве  в силу арифметических свойств и непрерывности корня, а в точках  - поскольку они являются изолированными (отдельными) точками . Таким образом, точками разрыва могут быть только . Находим  . Поскольку  чётная, то и . Следовательно,  - точки устранимого разрыва.

Пример 42. Исследовать на непрерывность функцию  и построить её график.

Решение. Пусть х>0. При х>1  и у=0. При  у=1. При  и  Таким образом, при 

(одновременно строим график, рис. 2 );  Следовательно, , являются для у точками разрыва первого рода. Пусть теперь х<0. При х < -1  и . При , у=1. При   и  Таким образом, при     Получаем, что и точки , являются точками разрыва первого рода. Поскольку   то х=0 является точкой устранимого разрыва. Во всех остальных точках функция непрерывна.


Найти частные производные второго порядка функции [an error occurred while processing this directive]