Курс лекций и задач по физике Физика Ньютона
Пример решения типового задания Найти значение производной функции Линейная алгебра Исследовать функцию Предел последовательности Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение типового варианта контрольной работы

ЗАДАЧА 8

Постановка задачи: Пользуясь определением, доказать, что функция  непрерывна в точке .

План решения

1. Вычисляем

Функция  называется непрерывной в точке , если

  . Это значит, что  неравенство  имеет решение.

2. Зададим произвольное положительное , оно может быть как угодно

мало. Для того чтобы найти , сначала найдем множество  такое,

что   , т. е решим неравенство

. Затем найдем  такое, что

. Тогда будем иметь

.

  Это означает, что  непрерывна в точке

  .

Пример: Доказать, что функция  непрерывна в точке.

Решение:

1. Вычисляем .

 Функция  называется непрерывной в точке  ,если

   .

 Это означает, что  неравенство  имеет решение

 

2. Зададим произвольное положительное , найдем множество , для

 которого выполняется неравенство , т. е. решим это

 неравенство

 

  

  

 

 

 

  Таким образом

 

  Следовательно, если

 , то

 ,

 т. е.  непрерывна в точке .

Ответ:

  .

ЗАДАЧА 9

Постановка задачи: Вычислить предел , где

План решения:

1. Если , то функция  непрерывна в точке и

Если  и , то

Если   и , то разлагая многочлены на множители,

получаем , где и

2. Поскольку в определении предела функции при  аргумент не может принимать значение , равное , то в последнем случае можно сократить множитель . Получаем

Замечание. Если является кратным корнем многочлена  и , то

,  и

, где  и

Пример: Вычислить предел

Решение:

1. Выражение под знаком предела (рациональная дробь) является отношением двух бесконечно малых функций при . Разложим числитель и знаменатель на множители:

 

2. Поскольку в определении предела функции при аргумент не может принимать значение равное , то можно сократить множитель  . Получаем:

Ответ:


Курс лекций и задач по физике Физика Ньютона
Найти частные производные второго порядка функции [an error occurred while processing this directive]