Пример решения типового задания Найти значение производной функции Линейная алгебра Исследовать функцию Предел последовательности Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение типового варианта контрольной работы

ЗАДАЧА 10

Постановка задачи: Вычислить предел функции, где  и  бесконечно малые функции при , содержащие линейное выражение под знаком радикала.

План решения:

1. Для функций стоящих в числителе и знаменателе определить дополнительные множители  и , такие что  и  будет рациональными функциями.

если , то

 если  то

2. Домножить числитель и знаменатель дроби стоящей под знаком предела на произведение , получим

.

Затем преобразовать рациональные выражения и , при условии что , можно сократить сомножители .

Далее используя правила вычисления находим значение предела.

Замечание: Одна из функции может полностью стоять под знаком радикала, тогда ее нужно разложить на множители используя формулы сокращенного умножения.

Пример: Вычислить предел функции  

Решение.

1.

В числителе и знаменателе стоят функции бесконечно малые при.

Для функции стоящей в числителе дополнительный множитель имеет вид:

  , т. к.

получим рациональное выражение. Выражение стоящее в знаменателе раскладываем на множители

2.

Функция, стоящая в знаменателе не является бесконечно малой при .

Ответ:

ЗАДАЧА 11

Постановка задачи: Вычислить предел , где  и  бесконечно малые функции при

План решения:

Бесконечно малые функции, стоящие в числителе и знаменателе, можно заменить на им эквивалентные.

Если  , , ,  - бесконечно малые функции при такие, что ~ при  и ~при  и существует предел , то существует , причем

Таблица эквивалентности функций:

1.

2.

3.

4.

5.

6.  

7.  

8.  

Пример: Вычислить предел 

Решение. Выражение под знаком предела является отношением двух бесконечно малых функций при , так как

, .

Бесконечно малые заменяем на эквивалентные

Таким образом

Ответ:


Найти частные производные второго порядка функции [an error occurred while processing this directive]